[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 제곱근과 실수 - 제곱근의 성질과 대소 관계

이번 시간 배워볼 내용은 제곱근의 성질과 대소관계입니다 자 우리가 이 제곱근의 몇 가지 성질을 배워볼 거구요 그 제곱근과 제곱근의 크기를 비교하는 방법을 좀 배워보도록 하겠습니다 자 물론 우리가 지난 시간에 배운 그 제곱근의 내용을 정확하게 모른다면이 내용을 이해할 수가 없습니다 만약에 앞부분 내용이 조금 어려웠다 많이 이해가 안 갔다 그러면 강의 한번 다시 듣고 복습하고 여기 들으시길 바랍니다 자 그러면 일단 한번 여기를 들어가 볼게요

자 일단은 제곱근의 성질이라고 나와 있는데요 우리가이 제곱근이 뭐였어요 x 제곱은 a를 만족하는 X 값 즉 x는 플러스 루트 a - 루트 a로 나오는 것을a의 제곱근이라고 했습니다 자 얘네들이 a의 제곱근이에요 자 그러면 우리가 x 제곱은 a를 만족하는 값들이기 때문에 우리가 요거를 거꾸로 집어넣으면 즉 맥스가 루트 a니까 x를 제곱을 하면 루트 a * 루트 a죠 그러면 a가 나오는 거고요 - 루트 a를 넣어도 성립을 하니까 - 루트 a 곱하기 - 루트 a도 a가 나오는 겁니다 자 물론 우리가 지금 여기 쓰고 있는 a값들은 모두 양수겠죠 우리가 a가 양수라는 조건 아래에서 요거를 지금 하고 있는 겁니다 제곱을 했는데 음수가 나오는 경우 그리고 0인 경우는 따로 고려하지 않을 거예요 자 a가 양수인 경우에 요거와 요거가 성립을 하는 겁니다 자 그래서이 제곱근의 성질에서 지금 나오는게 첫번째로 루트 a를 제곱한다 즉 루트 a를 두 번 곱하면 a가 나온다라고 말하는 거예요 자 그리고 두 번째도 요렇게 나와 있는 식도 우리가이 두 번째 식에서 여기 있는 식에서 확인을 할 수가 있죠 자 이렇게 루트 a와 마이너스 루트 a를 제곱하면 a가 된다 자 그리고요 우리가이 루트 안에 a 제곱이 있어도 똑같이 a가 나옵니다 자 제곱해서 a 제곱이 되는 수예요 자 제곱해서 a 제곱이 되는 수는 뭐겠어요 a겠죠 자 그리고 제곱해서 -a의 제곱이 되는 수인데요 이것도 마찬가지로 우리가 지금 - a 제곱을 계산하면 결국 루트 안에는 a²이 될 거예요 그러면 제곱해서 a 제곱이 되는 수니까 a라고 계산을 할 수가 있습니다 자 그러면 1번의 내용과 2번의 내용을 종합을 했을 때 우리가어떤 거를 확인할 수 있어요 루트와 제곱은 사라지는구나 루트와 제곱은 사라진다는 것을 우리가 알 수가 있습니다 자 루트를 제곱에도 사라지고요 루트 안에 있는 제곱과도 이렇게 사라집니다 하지만 항상 결과는 뭘로 나와요 지금 a로 나오고 있죠 즉 양수로 나와야 됩니다 양수로 나와야 돼요 자 a가 양수고 항상이 루트와 제곱을 없앨 때는 양수로 나와야 돼요 자 예를 들어서 이런게 있다고 해볼게요 루트 3의 제곱 자 그러면 3의 제곱은 우리가 9죠 제곱해서 9가 되는 수는 3입니다 자 이렇게 3으로 우리가 계산을 할 수가 있는데 쉽게 생각해서 루트와 제곱을 지워서 우리가 계산을 할 수가 있어요 이렇게 지워낼 수가 있는데 만약에 루트 안에마이너스 3의 제곱이 들어가 있으면 우리가 여기 있는이 루트와 제곱을 지우고서 그냥 -3이라고 쓰면 안 되고요 우리가 항상 양수로 나와야 되는 겁니다 이렇게 플러스 3이라고 나와야 되는 거예요 플러 스 3 자 여기까지 됐나요

자 그러면 이 내용도 상당히 중요한 내용이에요이 내용이 어디 정리되어 있냐 바로 2번의 정리가 되어 있습니다 자 루트 a 제곱의 성질이라 되어 있는데요 자 모든 수 a에 대해서 루트 a 제곱이면요 우리가 루트와 제곱을 지울 수가 있어요 그러고서 a가 나오긴 나오는데 어떻게 나와야 된다고요 항상 양수로 나와야 된다고요 양수로 그러면 양수로 나오기 위해서는 우리가 그냥 a라고 쓰면 안 되고 어떻게 써야 하냐 바로 절댓값을 달아주는 겁니다 절대값을 달면항상 양수로 나오죠 그래서 루트와 제곱을 지을 때는 절댓값을 씌워서 계산을 한다 그러면이 절대값 a는 a가 0보다 크거나 같은 경우에는 그대로 a로 나오는 것이고요 a가 0보다 작다하고 나올 때는 마이너스 a라고 나오는 겁니다

자 이 밑에 있는 내용을 한번 보도록 하겠습니다 자 a²의 양의 제곱근이므로 자 a 제곱의 양의 제곱근이므로 루트 a 제곱은 항상 양수다 되어 있어요 자 a²의 양의 제곱근이면 우리가 x 제곱은 a 제곱을 만족하는 X 값 중 양수인 루트 a 제곱을 말하는 거죠 루트 a 제곱은 양의 제곱근이기 때문에 항상 양수로 나와야 되고요 그래서 우리가 양수로 나와야 돼서 절댓값 a라고 써주는 겁니다 자 우리가 앞에서 배운 내용을 한번 정리한 것뿐입니다

자 밑에 있는 개념 예제 한번 보도록 할게요 자근호를 사용하지 않고 나타내라고 했고요 1번 - 루트 3.5의 제곱이면 자 쉽게 생각해서 루트랑 제곱을 지울 수가 있는데 자 음수를 지금 제곱을 했어요 음수를 제곱했기 때문에 어차피 양수가 됩니다 그리고 안에 있는 숫자 3.5만 적으면 되는 거예요 자 2번 볼게요 자 요게 조금 헷갈릴 수 있는데 얘는 지금 - 루트 8의 제곱입니다 자 -가 바뀌 달려 있는 거예요 그러면이 루트 8의 제곱은 루트랑 제곱을 지워서 8이라고 쓸 수가 있어요 그런데이 마이너스를 마지막에 달아주는 겁니다 이렇게 그래서 -8이 돼요 우리가 마이너스를 제곱했을 때는 양수가 되지만 -가 밖에 달려 있을 때는 마지막에 계산한 값도 마이너스가 나와야 되는 거예요 자 3번 볼 거구요 이번에도 루트랑 제곱을 우리가 없앨수 있고요 그러면 절대값 -6.3으로 계산을 해주면 되겠죠 따라서 6.3이 나옵니다 항상 양수로 나와야 되기 때문에 절댓값을 씌워 주는 거예요 여기까지 됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 제곱근의 대소관계를 볼 건데요 자 밑에 두 개의 정사각형이 있습니다 자 내변 길이가 모두 같고요 넓이가 a인 정사각형이에요 자 오른쪽에 있는 건 넓이가 b인 정사각형입니다 자 이렇게 두 정사각형이 있는데 만약에 넓이가 a면 우리가 한 변 길이를 x라고 했을 때 x²은 a라는 식을 통해 넓이를 구할 수 있겠죠 자 그러면 x는 뭐가 나와요 플러스 루트 a가 나옵니다 자 원래는 플러스 마이너스 루트 a인데 우리가 지금 정사각형 한 명 길이를 x라고 잡아 놨기 때문에양수로만 나와야 돼서 플러스 루트 a가 나오는 거예요 자 그러면 넓이가 a면이 정사각형 환경 길이는 루트 a라고 나오고요 마찬가지로 넓이가 b면 정사각형 함정 길이는 루트 b라고 나옵니다 자 우리가이 넓이가 지금 b가 a보다 커요 a보다 b가 큰데 자 그랬을 때 정사각형 한 변 길이만 가지고 비교해도 왼쪽에 있는 정사각형의 한 변 길이보다 오른쪽에 있는 정사각형의 한 변 길이가 더 길겠죠 넓이가 크면 클수록 한 명 길이가 큰 거니까 우리는 a가 b보다 작으면 루트 a가 루트 b보다 작다라고 말할 수 있는 거예요 자 그런데 그 반대도 성립을 합니다 당연히 한 변기리 루트 a보다 루트 b가 크면 거기서 만들어지는 정사각형의 넓이 a보다 b가 크다라고도 할 수 있는 거예요

자 이 내용이 지금 밑에 나와 있고요 a도 양수고 b도 양수일 때 a보다 b가 크면 루트 2보다 루트 b가 크고 루트 a보다 루트비가 크면 b가 a보다 크다라고 할 수 있는 겁니다 자 마지막 3번은요 우리가 루트 a보다 루트 b가 클 때 자 여기다가 마이너스를 곱해주면요 곱하기 -1을 해주면 자 여기 - 루트 a가 되고요 여기는 - 루트비가 됩니다 자 이때 우리는 부등호 방향이 바뀌겠죠 음수를 곱했으니까 부등호 방향이 바뀌게 됩니다 그래서 이거이면 요거가 성립을 한다 자 우리가이 세 가지 내용을 가지고 어떤 루트들간에 루트를 가진 숫자들 간의 크기를 비교할 수가 있어요 자 쉽게 말하면 우리가 만약에 3이 5보다 작죠 그러면 루트 3이 루트 5보다 작은 겁니다 그래서 루트가 있든 없든 우리는 그 루트안에 있는 숫자를 비교해서 그 크기를 비교할 수가 있습니다 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요 자 우리가이 제곱근의 성질과 대소관계에서 몇 가지 예제를 풀어보도록 할 거고요 a가 양수일 때 옳지 않은 것을 고르라고 했습니다 자 a가 양수라 그랬습니다 1번 보면요 루트 a 제곱은 a랑 같냐고 물어봤고요 루트 a 제곱은 우리가 루트하고 제곱이 사라지니까 절대값 a하고 같죠 근데 a가 양수니까 그냥 a라고 할 수 있는 겁니다 자 2번은요 마찬가지로 지금 마이너스 루트의 제곱이니까 루트랑 제곱이 사라지고 음수 제곱하면 당연히 양수로 나와서 a가 나오겠죠 자 3번도요 루트랑 제곱을 지우는데 -a가 그냥 나오면 안 돼요 절대값 마이너스 a라고 나오는 겁니다 그런데 절댓값 마이너스 a는 a와 같죠 그래서 여기도 마찬가지로 a로나오는 거예요 자 4번 보면요 자 -가 있고요 루트 -a의 제곱이라고 되어 있습니다 자 여기서 루트랑 제곱을 없앨 수 있고요 루트랑 제곱을 없애는데이 마이너스 a의 절대값을 씌워서 이렇게 나옵니다 그런데 뭐가 아직 안 했어요이 앞에 있는 마이너스를 아직 생각 안 했죠 요거를 앞에 달아주면 되겠죠 자 절대값 마이너스 a는 절댓값 -a는 그냥 a로 나오고요 앞에 있던 -까지 붙어서 결국은 -1이라고 나오는 겁니다 그래서 4번도 맞네요 자 우리가이 앞에 -가 달려 있는게 헷갈릴 수 있으니까 여기에 어떻게 되는지 꼭 다시 한번 복습해 보기 바랍니다

자 마지막으로 5번 보도록 할게요 자 - 루트 4a의 제곱인데요 우리가 이거를요 4a²을 어떻게 바꿔 줘야 되냐 바로2a의 제곱으로 바꿔 줘야 되는 겁니다 자 그러면 루트랑 제곱이 사라지고요 루트랑 제곱이 사라지고 안에 있는 ea의 절대값을 씌워서 나오는 거예요 그리고 앞에 원래 마이너스가 있었죠 이렇게 써 주시면 됩니다 자 a가 양수니까요 그냥 -2a라고 나오겠네요 자 그러면 우리 -4a랑 다른 값이죠 우리가이 4를 루트 밖으로 뺄 때는 그냥 밖으로 빼는게 아니라 우리가 뭐의 제곱인지이 4a 제곱은 2a라는 숫자의 제곱이기 때문에 우리가 이거를 묶어서 생각해줘야 된다는 점 우리가 꼭 기억하고요 답은 5번이 나옵니다 답은 5번 자 됐나요 넘어가겠습니다

자 두 번째 예제인데요 다음 중 두 수의 대소관계가 옳지 않은 것을 고르라고 했고요 자 1번 보면 루트 10과 루트 13을 비교했어요 자 그러면 우리가 안에있는 숫자만 비교하는 겁니다 10과 13을 비교했을 때 13이 크죠 그러면 루트 10과 루트 13도 루트 13이 큰 겁니다 그래서 1번은 맞고요 자 2번은요 제가 한쪽에 있는 루트가 있고 한쪽에 있는 루트가 없어요 이럴 때는 어떻게 하냐 루트를 만들어 주는 겁니다 자 2분의 1은요 우리가 어떻게 바꿔줄 수가 있냐면 루트 2분의 1의 제곱으로 바꿔줄 수가 있죠 어차피 루트가 제곱이 사라지니까 루트와 제곱을 같이 만들어 주는 겁니다 그러면 루트 4분의 1이고요 우리가 비교하는 건 루트 1/4과 루트 3분의 1이 크기를 비교하는 건데 3분의 1이 더 크기 때문에 여기도 마찬가지로 루트 3분의 1이 더 큽니다 자 3번도 우리가 지금 한쪽에 루트가 있고 한쪽에 루트가 없죠 그러면 5를 제곱을 해서 이렇게 루트 25로 바꿔주고요 여기는 루트 21 그대로 씁니다 자 그러면 우리가25가 더 크니까 루트 25가 더 큰 거예요 자 4번 보면요 루트 0.3과 0.3인데 자 루트 0.3은 그대로 냅두고요 여기 있는 0.3을 제곱해서 루트 0.3의 제곱이라고 할 거예요 그러면 루트 0.3을 제곱하면 0.09로 계산이 되고요 안에 있는 숫자를 비교했을 때 0.32 0.09보다 크죠 그러면 크기가 이렇게 됩니다 자 부등호가 지금 반대로 됐죠 답은 4번이네요 자 5번까지 보도록 할게요 자 - 루트 3과 - 루트 7을 비교했는데요 우리가 루트 3과 루트 7을 비교했을 때 12 더 크기 때문에 루트 7이 더 크다는 걸 알 수가 있어요 저게 더 큰데 우리가 마이너스를 곱해서 부두 방향이 바뀐 부등호 방향이 바뀐 이런 식으로 우리가 구할 수가 있겠죠 곱하기 -1을 해주면 주식을 얻어낼 수가 있습니다 자 5번도 맞네요

자 여기까지 해서요 우리가 우리 모든 필수 예제까지 모두 풀어 봤구요 제곱근의 성질이 우리가 조금 헷갈린 내용들이 많아요 우리가 다 비슷하게 생겼기 때문에 뭐가 보고 저거는 뭐고 이런 헷갈릴 때가 많은데 우리가 하나하나 꼼꼼하게 이해하고 복습하면 충분히 할 수 있는 내용이니까 꼭 끝나고 복습하시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다