[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 제곱근과 실수 - 수직선과 실수

자 반갑습니다 이번 시간에는 수직선과 실수에 관해서 배워보도록 할 거예요 자 수직선과 실수 우리가 여기서는 뭘 배우냐 바로 무리수를 수직선 위에 나타내는 방법을 먼저 배울 거예요 자 우리가 수직선에는 우리가 정수들을 쉽게 표현을 할 수가 있어요 정수를 기준으로 표현을 하죠 0 1 2 3 -1 -1 -3 이런 숫자들을 우리가 수직선 위에 표현을 하게 되는데 그 사이에 유리수도 우리가 표현하는 방법을 알고 있어요 예를 들어 1/2이면 2분의 1이면 0과 0과 1 사이에 딱 절반 우리가 1/2이기 때문에 아 여기쯤에 2분의 1이 있구나 우리가 이런 식으로 위치를찾을 수가 있었습니다 자 근데 우리가 지금 무리수를 배웠는데 무리수를 수직선 위에 도대체 어떻게 표현할 것인가 그거를 배워보도록 할 거예요 자 우리 무리수는요 순환하지 않는 무한 소수에요 그래서 숫자를 표현하기가 상당히 애매합니다 자 어떤 방법을 이용하게 되냐면 바로 직각삼각형의 빗변 길이를 이용하게 됩니다

자 예를 들어서 우리가 - 루트 2와 플러스 루트 2를 수직선 위에 표현한다고 해볼게요 자 빗변의 길이가 루트 2인 직각삼각형을 활용을 할 거고요 우리가 요렇게 생긴 삼각형을 만들어주면 요렇게 생긴 삼각형을 만들어주면 자 여기 길이 1이고요 우리 요거는 지금 정사각형이고 한병 길이가 1인 정사각형입니다 그러면 요렇게 생긴 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 쓰면 제가 이 빗변 길이를 처음에 x라고 하겠습니다x라고 잡았을 때 x 제곱은 1의 제곱 더하기 1의 제곱이고요 2가 나오죠 자 x²이 2니까 제곱에서 2가 되는 수는 뭐예요 우리가 플러스 루트 2라고 찾을 수가 있습니다 우리 지금 x가 도형의 길이기 때문에 -는 고려하지 않을 거예요 자 빗변 oa의 길이가 루트 2고요 우리가요 길이를 루트 2라고 잡았습니다 그러면이 길이를 가지고 뭐를 만드냐 바로이 OA 길이를 반지름으로 하는 이런 부채꼴 어 여기서는 반원이죠 부채꼴 중에서도 반원입니다 그런 반원을 그리면 여기도 루트이고 여기 길이도 루트 2가 되겠죠 자 그러면이 길이가 루트 2이기 때문에 요 점 우리가이 반원을 그렸을 때 수직선과 만나는이 점 p가 바로 루트 2가 되는 겁니다 자 근데 반대쪽으로 가면요 우리가요 길이가 루트 2인 거는 동일하고 루트 2만큼 뒤로 갔으니까이 수직선과의 교점 규의 좌표를 - 루트 2라고 할 수가 있는 거예요 자 우리 이 과정이 조금 어려울 수 있어요 조금 어려울 수 있는데 자 우리가 이 내용을 조금 정리를 해보도록 할게요

자 가장 먼저 뭘 했어요 빗변 길이가 빗변 길이가 무리수인 삼각형을 찾습니다 빗변 길이가 무리수인 삼각형 우리가 원하는 무리수가 들어가야겠죠 자 삼각형을 찾고요 두 번째 반원을 그립니다 반원을 그리면 그 빗변을 우리가 반지름으로 하는 반원이기 때문에 반지름만큼 앞으로가 위치에는 그 무리수를 더해주는 거고 반지름만큼 뒤로가이 빗변의 길이만큼 뒤로 간 점은 바로 무리수를 빼주는 겁니다 자 반원을 그려서 세 번째점을 찍는다 점을 찍고 거기에 숫자를 구해주면 되겠죠 자 이런 과정으로 우리가 어떤 무리수를 직선 위에 나타낼 수가 있어요 자 이번엔 플러스 루트 - 루트 5이 두 가지 무리수를 한번 나타내 보도록 할게요 자 그러면 빗변의 길이가 루트 5인 삼각형이 필요하고요 우리가 그 삼각형을 어떻게 찾냐 요렇게 찾습니다 이렇게 생긴 삼각형이에요 자 그러면 요기 길이가 2구요 요기 길이가 1이죠 그러면 제가이 빗변 길이를 만약에 x라고 잡으면 피타고라스의 정리에 의해서 x 제곱은 2의 제곱 플러스 1의 제곱이고 5기 때문에 x는 + 루트 5라고 찾을 수 있습니다 자 마찬가지로 음수는 고려하지 않아요 자이 빗변 길이가 루트 5인 삼각형을 찾았고 그러면이 삼각형의 빗변을 반지름으로 하는원을 그려주는 겁니다 자 부채꼴이죠 반원이고요 이렇게 생긴 단원이 만들어지죠 자 그러면 우리가 원이라는 것은 원이라는 것은 반지름의 길이가 항상 일정하기 때문에 여기서부터 여기까지의 길이도 루트 5구요 반대쪽으로 여기서 여기까지 가는 길이도 루트 5입니다 그러면이 원이이 수직선과 만나는요 점 q의 좌표는요 0에서 루트 5만큼 뒤로 왔으니까 - 루트 5가 되는 거고요 c의 좌표는 0에서 루트만큼 앞으로 왔기 때문에 루트 5가 되는 겁니다 그래서 이렇게 우리는 직각삼각형과 반원을 가지고 우리는 무리수를 수직선 위에 나타낼 수가 있어요 자 조금 어렵죠 어려우니까 우리 이내용 우리가 많이 지금헷갈린다면 다시 한번 앞으로 돌려서 듣고 뒤로 가시길 바랍니다

자 일단은 우리는 뒤로 가도록 하겠습니다 자 이번엔 실수와 수직선이고요 일단은 어떤 실수를 수직선에 표현할 때 몇 가지 성질들이 있습니다 그 내용들을 좀 볼게요 자 수직선은요 유리수와 무리수 즉 실수에 대응하는 점들로 완전히 매울 수 있어요 자 우리가 유리수랑 무리수를 합쳐서 실수라고 하죠 우리가 실수로이 수직선을 가득 채울 수 있는 거예요 유리수만 가지고 있다고 해서 못 채우고요 무리수만 가지고 있어도 채우지 못합니다 우리가 실수 전체를 가지고이 수직선을 완전히 채울 수가 있어요

자 두 번째는요 모든 실수는 수직선 위에 점에 각각 대응할 수 있다라고 되어 있는데 자 만약에 실수 한계가 있어요 실수 한계가 있으면 우리가 수직선 위의딱 점 한 개를 찍을 수 있습니다 마찬가지로 수직선 위에 점안개가 있으며 우리가 실수 딱 한 개를 나타내는 거예요 그래서 각각 대응한다라는 말의 의미가 우리 실수 하나의 점이 딱 하나다 요거를 의미하는 겁니다 자 세 번째는요 서로 다른 두 실수 사이에는 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다라 되어 있어요 자 실수와 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있고요 우리가 유리수와 유리수 사이에도 수많은 유리수와 무리수가 존재하고요 마찬가지로 어떤 무리수와 무리수 사이에도 무수히 많은 요리수와 무리수가 각각 존재합니다

자 그럼요 내용 가지고 한번 개념 예제 바로 보도록 할게요 자 옳은 것을 동그라미하고 옳지 않은 것에 x표 치는 문제인데요 자 서로 다른 두 무리수 사이에는 자 무리수와 무리수 사이에는 무수히 많은정수가 있냐고 물어봤네요 자 그러면 우리가 루트 2와 루트 5라고 해볼게요 루트 2라는 무리수는 1점 몇이고요 루트 5는 2점 몇입니다 그러면 루트 2와 루트 사이에는 정수가 뭐 있어요 딱이 하나밖에 없죠 정수의 개수가 무수히 많지는 않습니다 그렇기 때문에 요거는 x표입니다 자 2번 모든 실수는 수직선 위에 한 점에 각각 대응한다라고 되어 있는데 자 우리 2번에서 확인했던 내용이죠 딱 실수 하나는 어떤 수직선 위에 한 점에 대응한다는 거 맞는 말이고요 자 3번 서로 다른 두 무리수 사이에는 무리수와 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다 자 우리가 요거는 3번에서 확인한 내용이죠 무리수와 무리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다 자 요것도 맞구요 자 4번 수직선은 무리수에 대응하는 점들로 완전히 매울 수없다라고 되어 있는데 자 수직선은요 무리수도 있고 유리수도 있어야 완전히 매울 수 있다 그랬어요 자 무리수에 대응하는 점들로 완전히 외울 수 없다 맞는 말이고요 자 마지막 5번 서로 다른 두 유리수 사이에는 유리수와 유리수 사이에는 무리수만 있는 것이 아니라 유리수도 존재합니다 유리스와 유리수 사이에 얼마든지 무수히 많은 유리수가 존재할 수 있어요 자 그래서 요거는 틀렸습니다 그래서 2번 3번 4번이 맞는 거네요 자 넘어가겠습니다

자 이번엔 실수의 대소관계인데요 a와 b가 실수일 때 누가 더 큰지 비교를 할 때는 우리가 어떻게 해주냐 a 마이너스 b의 부호를 조사합니다 a 마이너스 b의 부호를 조사하는 거예요 조사를 해서 a-b가 양수다 그러면 양변의 b를 더했을 때 a가 b보다 크다는 결론은 얻어낼 수가 있죠-b를 오른쪽으로 넘겨준 거예요 자 근데 a 마이너스 b가 0이에요 그러면 a가 b겠죠 a 마이너스 b가 음수면 a가 b보다 작을 겁니다 자 그래서 우리는 뭘 따신다고요 a-b의 부호를 조사하는 겁니다 a 마이너스 b의 부호를 조사하는 거예요 자 그러면 우리가 요거 가지고 한번 개념 예제 보도록 할게요 자 1번 보면 루트 2+1과 위쪽에다 쓸게요 루트 2 플러스 1과 루트 3 + 2의 대소를 비교하라 그랬고요 일단 빼는 겁니다 빼서 부호를 볼 거예요 자 요거 뺀 거를 계산해 주면 루트 2 - 루트 3 -1이 됩니다 자 그러면 루트 2 - 루트 3은 음수적 우리가 루트 2보다 루트 3이 크기 때문에 음수입니다 근데 거기다 또 마이너스 일을 했어요 1을 또 뺀 거죠 그러면 얘는음수가 나올 수밖에 없네요 이렇게 되는 겁니다 그러면 루트 2 + 1보다는 루트 3 + 2가 크다는 것을 우리가 알 수가 있죠 자 우리가 요렇게 직접 빼 가지고 부호를 판단할 수도 있고요 제가 한 가지 방법을 더 알려드리도록 할게요 자 루트 2 + 1에서요 우리가이 무리수를 좀 공부를 많이 하다 보면이 무리수가 몇 정도 되는지 우리가 감을 금방금방 잡아낼 수가 있습니다 루트 2는 루트 2는 1과 루트 4 사이 즉이 사이에 있기 때문에 루트 2는 1점 몇이에요 자 루트 3은요 1보다 크고 루트 4보다 작은게 마찬가지죠 그러면 얘는 마찬가지로 루트 3도 1점 몇입니다 그러면 루트 2 + 1은 1점 몇에다가 1을 더했으니까 2점 몇이고요 루트 3 + 2는 1.6에다가 2를더했으니까 3점 몇이죠 그러면 누가 커요이 루트 3 +가 크죠 자 우리가 이런 식으로 우리 루트 값이 몇 정도 되는지를 생각을 해서 크기를 비교할 수 있습니다 두 가지 다 방법 다 알아두시기 바랍니다

자 그럼 2번 문제 한번 풀어보도록 할게요 자 2번은 루트 5+2와 4의 크기를 비교하라 그랬고요 자 얘는 첫 번째 방법으로 한번 해 볼게요 자 살을 빼면요 루트 5 - 2구요 자 루트 5가 몇과 몇 사이에 있어요 루트 4보다는 크고 루트 9보다는 작죠 루트 4는 이고요 루트 9는 3입니다 즉 2와 3 사이에 있기 때문에 얘는 2점 몇에서 2를 빼는 거라서 0.몇이 남네요 아 그러면 양수네요 양수 0이니까 양수입니다 따라서 루트 5+2가 4보다 크다는 거 우리가 찾아낼 수가 있겠죠 그래서 이렇게 됩니다 자 위에 것도 답을 이렇게 써 주도록 할게요 자 마지막 3번 볼 거고요 루트 7 - 5와 루트 7 - 7의 크기를 비교하라고 했고요 요번에도 빼겠습니다 그러면 루트 7 - 5 - 루트 7 + 7이고요 7 - 5니까 2라고 계산이 됩니다 자 그럼 양수네요 우리가 너무 쉽게 양수라고 나왔습니다 그래서 얘가 양수고요 우리가 부등호를 이렇게 써 넣으면 되겠네요 자 여기까지 됐나요 넘어가겠습니다

자 우리가 이 필수 예제 하나 풀고 마칠 건데요 우리가이 수직선 위에 무리수를 표현하는 방법을 조금 더 공부해 보도록 할 거예요 자 다음 그림에서 모눈한 칸은 한 변의 길이가1인 정사각형이고요 ab랑 ap랑 같고 ac랑 aq랑 같대요 자 ab랑 ap랑 같으니까 어디랑 어디랑 같은 거예요요 길이랑요 길이가 같은 거죠 자 그리고 ac랑 aq랑 같으니까요 길이랑요 길이가 같습니다 독일이랑요 길이가 같고요 길이랑요 길이랑 같고 자 pq의 대응하는 수를 각각 찾을 건데요 그러면 우리가 일단은 점 p를 찾기 위해서 뭘 찾아야 되냐 바로 ab의 길이를 찾아 줘야 됩니다 근데 ab는 우리가 이렇게 생긴 이렇게 생긴 삼각형의 직각삼각형의 빗변의 길이죠 자 그러면요 길이는 1이고요 길이는 3이기 때문에 우리가 한 칸에 1이니까 1 3이라고 구할 수 있는 거예요 자 AB 길이를 x라고 잡으면 우리가 피타고라스의 정리에 의해서 x제곱은 1의 제곱 플러스 3의 제곱 즉 10이구요x 값을 루트 10이라고 찾을 수가 있습니다 자 그러면 x가 루트 10이면 어디도 루트 10이에요이 ap의 길이도 루트 10이죠 자 여기도 루트 10인데 우리가 찾는 건 요점 요점 p에 대응하는 수입니다 자 루트 10만큼 뒤로 왔어요 지금 루트 10만큼 뒤로 왔는데 어디를 기준으로 뒤로 왔어요 a를 기준으로 루트 10만큼 기로운 겁니다 그러면 원래 위치가 3이었는데 원래 위치가 3이었는데 루트 10만큼 d로 왔으니까 루트 10을 뺀 3 - 루트 12 바로 점 p입니다 우리가 요런 식으로 찾아 줄 수가 있어요 자 그럼 q도 찾아볼게요 자 q는요 지금 빗변 ac를 갖는 직각삼각형에서 우리가 AC 길이를 먼저 찾아주도록 할 거고요 우리요 길이는 2구역요 길이는 3입니다그러면요 길이를 y라고 잡았을 때 피타고라스의 정리를 써주면 y 제곱은 y 제곱은 2의 제곱 플러스 3의 제곱이니까 13이라고 구할 수가 있습니다 그러면 y 값은 루트 13이고요 자 그러면 우리 aq의 길이도 여기서부터 여기까지 길이도 바로 루트 13인 거죠 여기도 루트 13이에요 자 이번에 루트 13만큼 앞으로 왔네요 어디서 루트 13만큼 앞으로 왔어요 a에서 루트 13만큼 앞으로 왔습니다 따라서 점추는요 3에다가 루트 13을 더해준게 바로 점수에 좌표가 되겠죠

자 우리가 여기까지 해서요 오늘 배울 내용은 모두 마쳤고요 방금 했던이 필수 예제 우리가 꼭 복습하면서 완벽하게 이해하고 넘어가셔야 됩니다 우리가 어떤 점을 기준으로 앞으로 갔냐 뒤로 갔냐 요것도 따로줘야 되고요 그 직각삼각형에서 빗변 길이 찾는 것까지 완벽하게 이해를 해서 우리가 혼자 풀 풀 수 있을 때까지 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨습니다 감사합니다