[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 제곱근과 실수 - 제곱근의 곱셈과 나눗셈

자 이번 시간 우리가 학습할 내용은 제곱근의 곱셈과 나눗셈이에요 자 우리가 지난 시간까지 계속 대곱근에 대해서 제곱근에 대해서 배우고 있는데 오늘은이 제곱근을 곱셈하고 나눗셈하는 방법에 대해서 좀 배워 볼 거구요 간단하게 정리하는 것도 몇 개 해보도록 하겠습니다 자 일단은요 우리가 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서이 곱셈과 나눗셈을 어떤 방법으로 할 거냐면 루트는 루트끼리 계산할 겁니다 루트는 루트끼리 계산하는게 핵심이에요 자 루트는 루트끼리 계산한다 요것만 기억을 하면 돼요

자 일단은 우리가 루트 a와 루트 b를 가지고 우리가 내용을 좀 볼 건데 여기서 a와 b를요양수라고 할 거고요 루트 안에 들어가는 수가 음수가 될 순 없죠 양수라고 할 거고 어떤 m과 n이 유리수라고 하겠습니다 자 일단은요 루트 a와 루트 b를 곱하면 제가 루트는 루트끼리 계산을 한다 그랬죠 그러면 루트 a와 루트 b를 곱하면 얘네는 루트를 가지고 있는 애들이니까 얘네끼리 곱해서 루트 a와 루트 b를 곱한 루트 ab가 되는 겁니다 자 어렵지 않죠 루트를 가진 애는 노트를 가진의끼리 이렇게 곱셈을 할 수가 있는 거예요 자 예를 들어 이런 거죠 예를 들어서 루트 3과 루트 5를 곱하면 그냥 루트 3과 5를 곱한 15가 되는 겁니다 자 루트를 가진 애들은 루트 가진 애들끼리 곱하는 거예요

자 2번 볼게요 2번을 보면 m 루트 a와 n 노트 b를 곱했어요 자 그러면 m과 n은 루트를 안 가지고 있는애고 a와 b는 루트를 가지고 있는 애입니다 그러면 루트 a와 루트 b는 가지고 있으니까 루트를 가지고 있어서 루트 ab라고 이렇게 쓰고요 m과 n은 루트를 가지고 있지 않으니까 에멘이라고 쓰는 겁니다 자 맨 처음에 말했던 것처럼 루트를 가진 애들은 가진 애들끼리만 곱셈을 하는 것이고 안 가지고 있는 애들은 그냥 그대로 곱해 주는 거예요 자 이것도 예시를 하나 들어보면요 자이 루트 3 곱하기 3루트 2였어요 그러면이 루트 밖에 있는 2와 3은 루트를 안 가지고 있기 때문에 6이라고 2와 3을 곱해서 6이라고 쓰고 자 루트를 가지고 있는 애는 루트 3과 루트 2죠 자 그 두 개를 곱해서 루트 6이 되는 겁니다 자 6이 각각 어떻게 만들어졌는지 보이죠숫자는 같지만 우리가 어떤 애들을 곱했는지를 봐야 됩니다 얘랑 얘를 곱해서 얘가 나온 것이고 루트 3이랑 루트 2를 곱해서 얘가 나온 것입니다 자 여기까지 됐나요

자 그러면 제곱근은 나눗셈을 볼 건데요 자 제곱근의 나눗셈도 똑같아요 루트는 루트끼리 계산하는 거 동일하구요 루트 a와 루트 b를 나누면 우리가 이거를 분수꼴로 표현했을 때 루트 b분의 루트 a라고 쓸 수가 있어요 자 루트 b분의 루트 a에서 둘 다 루트를 가지고 있기 때문에 루트라 하나로 쓰고 로또 b분의 a라고 쓰면 되는 겁니다 자 예를 들어서요 우리가 루트 8 나누기 루트 6을 한번 해보도록 할게요 자 그러면 루트 6분의 루트 8하고 같고요 6과 8이 지금 둘 다 루트를 가지고 있기 때문에 두 개를 한꺼번에 루트 6분의 8이라고 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 그럼약품까지 해서 루트 3분의 4라고 쓸 수가 있겠죠 자 2번 보도록 할 건데요 자 m과 m이 지금 생겼어요 m과인이 생겼는데 똑같습니다 자 루트를 가지고 있는 애가 있고 안 가지고 있는 애가 있어요 루트를 가지고 있는 애는 루트 a랑 루트 b가 가지고 있고요 루트를 안 가지고 있는 애는 m이랑 에미루트가 안 가지고 있죠 그러면 루트를 안 가지고 있는 애들은 안 가지고 있는 애들끼리 안 가지고 있는 애들끼리 n분의 m이라고 쓰고 가지고 있는 루트 비분의 루트에 있는 우리가 루트를 한번에 a라고 쓰고 자 이렇게 써주면 됩니다 자 우리가 당연히 요게 지금 분수골에서 분모가 0이 되면 안 되기 때문에 n이 0이 아니라는 조건이 하나 달려 있는 겁니다 자 그러면 요것도 예시를 한번 들어보도록 할게요

자 예시로 뭐를 해볼 거냐면이 루트 12 나누기 3루트 18이라고 해볼게요 자 요구르 계산을 해주면요 3루트 18분의 2√10이고요 자 루트를 안 가지고 있는 3과 2를 가지고 3분의 2를 만들면 되고 루트를 가지고 있는 루트 18과 루트 11을 가지고 루트 18분의 10이라고 계산을 할 수가 있습니다 자 루트 아래에 있는 수가 18과 10인데 얘를 약분해서 3분의 2 그리고 루트 6으로 약분하면 3분의 2죠 자 이렇게 3분의 2 루트 3분의 2라고 계산까지 할 수가 있습니다 자 제일 중요한 거는 우리가 요것만 요것만 잘 기억을 해서 활용을 해주면 우리가 곱셈을 나눗셈 어렵지 않게 할 수 있습니다 가지고 있는 애 가지고 있는 애들끼리 계산해주고 안 가지고 있는 애들은 안 가지고 있는애들끼리 계산해주면 되는 거예요

자 그러면 개념 예제 한번 보도록 할 건데 자 다음을 간단히 하라고 했구요 1번은 -2루트 5 곱하기 3루트입니다 그러면 루트를 안 가지고 있는 마이너스 2와 3을 그대로 곱해서 -6이 되고요 루트를 가지고 있는 루트와 루트 2를 가지고 루트 10으로 계산을 할 수가 있습니다 자 우리가 정말 쉽게 계산을 할 수가 있어요 많이 어렵지 않습니다 자 2번은요 나눗셈이고요 분모의 루트 3을 넣고 분자의 3루트 6을 넣습니다 자 그랬을 때 루트를 지금 분모에 가지고 있는 애만 있고 루트를 안 가지고 있는 애는 없네요 그러면 우리가 1을 가지고 있는 걸로 생각을 하면 되고요 1분의 3이니까 그냥 3을 써주면 되겠죠 사실 그렇게까지도 생각할 필요가 없습니다 우리가 밖에 있는 그냥 선만 써주면 되는 거예요자 그리고 루트 3분의 6이죠 안에 루트를 가지고 있는 애들끼리 계산을 해주면 3분의 6이 되고요 3과 6을 약분하면 우리가 3루트 2다라고 계산을 마무리할 수 있습니다 자 여기까지 됐죠

자 우리 루트는 루트끼리 계산한다는 거 요거 꼭 줘 기억하고 넘어가도록 할게요 자 이번엔 근호가 있는 시계 변형을 보도록 할 건데요 자 예를 들어서 루트 4가 있으면이 4는 2의 제곱이기 때문에 루트와 제곱으로 없애고 우리가 숫자 2만 쓸 수 있었어요 루트랑 제곱이 사라지고 2만 남았죠 자 이거를 좀 활용을 할 건데 자 여기 교재에 뭐라 써 있냐면 a가 양수고 b가 양수일 때 근호 안의 제곱인 인수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있다라고 되어 있어요 자 그러면 우리가 만약에 루트 a 제곱 b라고 되어 있으면 이거를 a 루트 b로 정리를 할 수가있습니다 자 예를 들어서 우리 루트 12가 있다고 해볼게요 자 루트 12는 3 곱하기 4죠 자 그러면 요거를 루트 3 곱하기 루트 4로 바꿀 수 있고요 여기서 루트 4가 2로 정리가 되기 때문에 우리가 이거를 2 루트 3이라고 쓸 수가 있습니다 자 이렇게 루트 안에 제곱인 인수가 있으면 그 제곱인 것만 밖으로 빼낼 수가 있는 거예요 꼭 루트 안에 제곱인 숫자가 아니더라도 전체적으로 제곱이 아니더라도 제곱인 인수만 들어가 있으면 우리는 그거를 바깥으로 뺄 수 있다는 말입니다 자 두 번째는요 우리가 이제 분모의 제곱이 들어가 있는 건데 자 요거는 a니 루트 b로 정리가 된다 그랬어요 자 우리 비슷한 내용입니다 예를 들어서 루트 4분의 3이라고 되어 있으면 루트 4분의 루트 3과 같으니까 루트 4는 2죠따라서 2분의 루트 3으로 계산할 수 있다 이런 얘기를 하고 있는 겁니다

자 두 번째는요 근호 밖의 양수는 제곱하여 근호 안으로 넣을 수 있다라고 되어 있습니다 자 거꾸로 돌리는 거예요 a 루트 b는요 a를 제곱해서 루트 안으로 이렇게 집어넣을 수가 있는 거예요 자 마찬가지로 a분의 루트 b도요 우리가 이렇게 루트 a² 분의 b로 바꿀 수가 있어요 우리가 나중에 뭐 여러가지 문제를 풀게 될 텐데 문제를 풀면서 피로에 따라서 우리가 이렇게 루트 안으로 집어 넣어야 되는 경우들이 생기니까 그때를 위해 쓰는구나라고 기억을 해주시면 됩니다 자 일단은 앞으로 문제를 풀 때 어떻게 계산을 했더니 요렇게 루트 12 루트 4분의 3 요런 꼴로 나왔다 그러면 우리는 제곱인 인수는 제곱인 인수는 바깥으로 빼주고 계산을 마무리 해야 됩니다 답을 쓸 때는 얘네들을 답으로 써주는 거예요 자 그리고 피로에 따라서 이렇게 안으로 집어넣을 수 있다는 거 우리가 같이기 억해 두시기 바랍니다 자 밑에 있는 개념 예제 한번 보도록 할 건데 다음 수를 a 루트 B 또는 a분의 루트 B 꼴로 나타내라고 했어요

자 그러면 우리가 지금 제곱의 안에 있는지 없는지 보려면 우리가 소인수분해를 해줘야 돼요 자 지금 1번을 제가 조금 이쪽에다가 풀도록 할게요 1번을 여기다가 풀 건데 자 48을 소인수분해해주면 2의 네제곱 곱하기 3이 나옵니다 자이 네제곱은 16이고요 우리가 이거를 4의 제곱으로 계산을 할 수가 있죠 그러면 루트 48은 루트 4의 제곱 곱하기 3이고요 제곱을 가진 애만 제곱을 가진 애만 제곱을 떼고 바깥에다가 4라고 쓸 수가 있는 거예요 자 루트 3은 밖으로 못 나옵니다 이렇게 4√3으로 계산이 되는 거예요 자 2번 보도록할게요 자 2번은 여기다가 쓰도록 할게요 루트 16분의 5인데요 자 우리가 16은 4의 제곱이라는 것을 알죠 4의 제곱 분의 5에다가 루트를 씌운 겁니다 그러면 4분의 루트 5라고 계산이 됩니다 자 3번 볼 거고요 제가 위쪽에다가 좀 쓸게요 자 2루트 98을 우리가 2루트 98을 좀 정리를 할 건데 98을 소인수분해를 해주면 49 곱하기 2 즉 2 곱하기 7의 제곱이고요 그러면 2 곱하기 루트 2 곱하기 7의 제곱인데 루트 안에 있는 제곱만 밖으로 나올 수 있는 거예요 자 t^2이 밖으로 나올 때는 제곱을 떼고 2 곱하기 7로 나옵니다 이렇게 돼서 14 루트 2로 계산이 됩니다

자 마지막 4번은 지금 루트 안에 소수 0.15가 들어있는데 자 0.15는분수로 나타내면 100분의 15입니다 자 100은 뭐의 제곱이에요 루트 10의 제곱 분의 15죠 그러면 우리가 이거를 10분의 루트 15라고 계산을 할 수가 있습니다 자 이렇게 해서 우리가 개념내제까지 한번 풀어 봤습니다 자 넘어갈게요 자 이번엔 분모의 유리화인데요 우리가 분모가 근호를 포함한 무리수라면 분모의 루트가 들어가 있다면 우리는 분모와 분자의 영이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것을 분모에 유리화라고 한다고 적혀 있네요 우리가 분모가 루트가 들어가 있으면 그거를 우리가 유리수로 바꿔서 정리를 해줘요 그래서 앞으로는 분모의 무리수가 있다 그러면이 분모의 요리화라는 방법을 통해서 우리가 그거를 부모를 유리수로 바꿔 줄 거예요 자 그러면 분모의 요리와는 어떻게 하는 것이냐 자이렇게 지금 a가 양수고 b가 양수일 때 세 가지 방법이 나와 있는데 공통적으로 뭐냐면 공통적으로 분모의 근모에 있는 분모에 있는 그 노를 똑같이 곱하는 겁니다 똑같이 곱한다 똑같이 곱한다 우리가 1 2 3번으로 나뉘어져 있는데 그냥 단지 케이스를 나눠 놓은 거고요 우리가 항상 생각해야 되는 건 분모의 요리마다 그러면 분모에 있는 루트를 똑같이 곱한다라고 생각을 하면 돼요 자 우리가 루트 a 분의 루트 b면요 루트의 b죠 자 루트 a 분의 b면요 부모분자의 뭐를 곱하냐면 지금 분모의 루트 a가 있기 때문에 루트 a를 없애기 위해서 루트 a를 한번 떡업해 주는 겁니다 그런데 분모에만 곱하면 안 되죠 그래서 분모에도 한번 루트웨이를 곱하고 분자에도 루트 a를 한번 곱해주는겁니다 자 원래 있던 루트 a 분의 비에다가 분모 분자의 루트 a를 곱해주는 것이죠 그러면 분모는 루트 a와 루트 a를 곱했으니까 a가 나오고요 분자는 그냥 B 루트 a가 되는 것이죠

자 간단하게 예시 한번 들어볼게요 우리가 루트 3분의 2라고 적혀 있으면 분모분자의 뭐를 곱한다고요 분모에 있는 똑같은 루트를 곱해주는 겁니다 근데 그거를 분모분다의 모두 곱해주는 거죠 자 그러면 루트 3 곱하기 루트 3은 우리가 루트 3의 제곱이니까 우리가 루트를 없앨 수가 있는 거예요 3으로 그래서 똑같은 루트를 곱해주는 겁니다 자 요렇게 우리가 계산을 해주면 되는 거예요 제일 중요한 건 분모에 있던 루트를 똑같이 곱해준다는 점 자 그럼 요걸 가지고 2번 3번 계속 볼 건데요 로트 a분의 루트 b가 있었을 때분모에는 지금 루트 a가 있습니다 그러면 루트 a를 곱해 주는 거예요 자 이렇게 곱하면 분모가 지금 루트 a 곱하기 루트 a니까 a로 나올 거고요 자 루트 B 곱하기 루트 a는 루트 ab로 계산을 해주면 되겠죠 자 달라진게 특별히 없고요 분자가 그냥 어떤 유리수였던게 무리수로 바뀐 건데 분단은 우리가 평소 계산하던 대로 앞에서 배웠던 대로 계산을 해주면 되는 겁니다 자 그러면 얘를 한번 또 들어볼게요 루트 7분의 루트 7분의 이번에는 루트 14라고 해볼게요 자 그러면 분모 분자의 루트 7을 곱할 거고요 분모 분자의 이렇게 루트 7을 곱할 거고 자 그러면 루트 7 * 루트 7이면 7이 나오고요 로또 14 곱하기 루트 7이면 루트 14 곱하기 7인데 우리가 여기가 지금 7 곱하기 2에서 7이 또곱해졌으니까 7의 제곱 곱하기 2죠 그러면 7이 밖으로 나와서 이렇게 계산이 됩니다 그럼 우리가 약분할 수 있으면 약분까지 해서 마무리 해주면 되겠죠 자 이렇게 해주면 됩니다 자 마지막 3번도 뭐 크게 다른 거 없고요 우리가 B 루트 a분의 c가 있어서요 자 분모에 있는 루트만 똑같이 곱하는 겁니다 그러면 분모에 있는 루트인 루트 a만 이렇게 분모 분자의 똑같이 곱해주면 되고요 B 루트 a 곱하기 루트 a니까 분모는 ab가 되는 거죠 b는 그대로 오고이 루트 a랑 루트 a 곱해서 a가 되는 겁니다 분자는 우리가 C 루트 a라고 이렇게 써주면 되겠네요 자 그러면 요것도 예시 한번 해 볼게요이 루트 3분의 여기를 5라고 해보겠습니다 그러면 분모에 있는 루트인 루트 3을 분모 분자의 곱해주면 되고요 자그랬을 때의 우리가 2 곱하기 루트 3의 제곱이니까 자 분자는 5 루트 3이고요 루트 3의 제곱이면 2 곱하기 3으로 나오겠죠요 부분에 5루트 3 따라서 6분의 5 루트 3이라고 계산이 됩니다 여기까지 됐나요 자 그러면 개념 예제 2개 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 1번 보면요 루트 1/5의 분모를 요리화라고 했고요 우리가 똑같은 똑같은 것을 곱해주면 됩니다 바로 루트 5를 곱해주면 되겠죠 여기 분모의 루트가 있으니까 분모분자의 루트 5를 곱하는 거예요 자 그러면 분모는 루트 오 곱하기 루트 5니까 5가 되고요 분자는 루트 5가 되는 겁니다 자 2번 볼 거고요 지금 3루트 6분의 4라고 되어 있는데 분모의 지금 루트 6이 있습니다 그러면 분모 분자의 똑같은 루트 6을 곱해주는 거예요 자그러면 분모는 3루트 6 곱하기 루트 6이니까 3 곱하기 루트 6의 제곱 즉 3 곱하기 6이 되고요 분자는 4√6이 되겠죠 자 그러면 18분의 4루트 6인데 우리가 2로 약분을 해주면 9분의 2루트 6이라고 계산까지 할 수가 있습니다 자 여기까지 우리가 분모의 유리화하는 방법 배워 봤어요

자 지금 앞에서 배웠던 내용을 좀 한번 정리를 하고 갈게요 자 우리가 제곱근의 곱셈과 나눗셈이라 그러면 어떻게 계산한다고요 루트를 가진에는 가지네끼리 안 가진 애는 안 가진 애끼리 곱셈 나눗셈을 해주면 돼요 그렇게 계산을 해 주면 되고요 자 우리가 근호 안에 제곱인 인수는 밖으로 빼서 정리를 해야 됩니다 그리고 필요에 따라서 밖에 있는 숫자를 제곱해서 루트 안으로 집어넣을 수 있다 자 이렇게 두 가지를 여기서 배웠어요 자 그런데 우리가 뭔가를 계산을 했어요 루트를 뭔가를 계산했는데 제곱인인수를 밖으로 뺄 수 있는 숫자라면 빼서 계산을 마무리 해 줘야 됩니다 그냥 루트 10이라고 쓰면 안 되고 그냥 루트 10이라고 쓰면 안 되고 2루트 3이라고 계산을 해서 마무리 해 줘야 되는 거예요 자 마지막 우리가 3번은 분모의 요리화에서는 분모가 물 있을 때 유리수로 바꾸는 방법을 배웠는데 요것도 마찬가지로 우리가 뭔가를 계산했는데 분모의 무리수가 있어요 그러면 그거를 우리가 유리화해서 분모가 유리수가 되도록 우리가 그렇게까지 계산을 마무리해서 끝내야 됩니다 자 그러면 요번에는이 필수 예제 풀이 한번 풀어보고 오늘 마치도록 할게요 자 요거를 간단히 하라고 했고요식이 복잡해 보이는데 우리가 배웠던 거를 그냥 순차적으로 적용을 시켜 가면서 계산만 해주면 됩니다 자 루트 7분의 루트 6 자 나눗셈은 어떻게 바꿔요 곱셈으로 바꾸고 분모 분자를 바꿔주죠 이렇게 바꿀 수가 있습니다 곱하기2루트 3분의 루트 10이라고 나와 있고요 저는요 앞에 있는 두 개 좀 먼저 계산을 해 주도록 할게요 자 요거를 계산할 건데 분모는 뭐가 나오나요 루트 7과 루트 3을 곱하니까 루트 21이 나오고요 분자는 7 루트 6이 나옵니다 자 그러면 루트 21분의 루트 6 7루트 6인데 우리가 유리화를 해 줄 거예요 유리화를 하기 위해서 분모분자의 똑같은 무리수인 루트 21을 곱해 줄 거고요 분모는 21 분자는 7루트 6 곱하기 21입니다 자 6 곱하기 21은요 우리가 2 곱하기 3의 제곱 곱하기 7로 인수분해를 할 수가 있고요 요거를 21분에 7 루트 2 곱하기 3의 제곱 곱하기 7이니까 뭐를 할 수가 있어요 3의 제곱을 밖으로 뺄 수가 있죠그러면 20일 루트 14가 되는 겁니다 우리가 여기 있네 3의 제곱을 바깥으로 빼서 3과 7을 곱한 21이 된 겁니다 자 그러면 21이 약분되고 남는게 루트 14 밖에 없네요

자 그럼 이제 뒤에 있는 거랑 계산을 할게요 루트 14 곱하기 2루트 3분의 루트 10이고요 자 루트 14 곱하기 자 2루트 3분의 우리가 루트 12 안에는 제곱인 인수가 있어요 그러면 12를 우리가 계산을 해주면 2의 제곱 곱하기 3이니까 2를 바깥으로 빼서이 루트 3이라고 쓸 수가 있습니다 자 그럼 여기가 분모 분자가 똑같으니까 약분해서 남는 거는 루트 14 밖에 없습니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 계산하는 방법 그리고 제곱인인수를 바깥으로 빼고 아니면 제곱해서 안으로 넣는 방법 분모의 유리와 요렇게까지 3개를 배워봤습니다 우리가요 세 가지들은 앞으로 정말 계속 쓰게 될 거예요 그렇기 때문에 우리가 꼭 완벽하게 이해하고 완벽하게 이해하고 문제도 많이 풀어보시고 익숙해질 때까지 연습을 하시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 자 고생 많으셨고요 감사합니다