[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 제곱근과 실수 - 제곱근의 덧셈과 뺄셈

자 우리가 오늘 배울 단어는 제곱근의 덧셈과 뺄셈입니다 자 우리가 지난 시간에 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해서 배웠었죠 자 그런데 그 곱셈과 나눗셈을 우리가 조금 아직은 미숙하다 조금 익숙하지 않다 그러면 그 단원을 조금 더 복습을 하고 여기 강의를 들으시기 바랍니다 우리가 강의만 듣는다고 실력이 느는게 아니에요 자 앞에다도 확실하게 복습해서 곱셈 나눗셈을 완벽하게 했을 때 그 다음에 우리가 여기를 들어와야 여기선 조금 더 복잡한 계산을 하기 때문에이 내용들을 더 쉽게 이해를 할 수가 있어요 자 그러면 우리가 나눗셈 곱셈 완벽하게 했다고 생각을 하고 저는 여기 이제 덧셈과 뺄셈 한번 강의를 시작해 보도록 할게요

자 일단요 이 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서 요거는 어떻게 계산을 하냐면동료항끼리 모아서 계산하는 것과 같이 근호 안의 수가 같은 것끼리 모아서 계산한다라고 되어 있어요 자 금호 안의 수가 같은 것끼리래요 우리가 곱셈 나눗셈은 루트는 루트끼리 계산하고 루트 아닌 거는 아닌 거끼리 계산했죠 자 근호 안의 수가 같은 거라 그랬으니까 같은 루트끼리 계산한다라고 우리가 기억을 좀 하면 좋을 것 같아요 같은 루트끼리 계산을 한다

자 그럼 이게 무슨 말이냐 자 일단 m과 n이 유리 쓰고 a가 양수일 때 요렇게 나와 있어요 m 루트 a+n√a는 n+n의 루트 a와 같다라고 적혀 있습니다 자 그런데 우리가 이걸 보면 조금 와닿지가 않죠 제가 요렇게 예시를 한번 들어볼게요 이 루트 3과 3√3을 더할 거예요 그러면 2랑 3을 묶어낼 수 있다고 적혀 있는데그러면 계산을 했을 때 5 루트 3이 되는 것이죠 자 그래서 2루트 3과 3루트 3을 더하면 여기 있는 2와 3을 더해서 5√3이 되는 겁니다 자이 루트가 같기 때문에 2루트 3은 루트 3이 두 개 있다는 소리고 3루트 3은 루트 3이 세 개 있다는 소리니까 루트 3이 총 5개여서 우리가 5루트 3이라고 적을 수 있는 겁니다 우리가이 루트를 약간 뭐랑 비슷하게 생각하면 좋냐면 x라고 생각을 하는 겁니다 ex랑 3x랑 더하면 5x죠 그렇기 때문에 그거와 비슷하게 우리가 계산을 해주면 돼요 자 그런데 요거는 안 됩니다 예를 들어서 2루트 3과 5 루트 2를 더하래요 자 우리가 루트를 덧셈할 때는 같은 루트끼리만 계산을 할 수 있는 거예요 그런데 여기 써 있는요 루트 3과요루트 2는 다른 루트입니다 루트의 값이 달라요 그래서 요거 두 개는 더할 수가 없고 더 이상 계산을 할 수 없는 상태입니다 요거는 여기서 끝난 거예요 자 2번 보면요 자 뺄셈도 우리가 m-n√a라고 이렇게 계산을 할 수 있다고 나와 있고요 동일하게 예시를 한번 들어보겠습니다 그러면 5에서 2를 빼면 되는 겁니다 5에서 2를 빼면 다음 루트 3이 나오죠 자 이렇게 계산을 해주면 됩니다 루트를 어떻게 보면 x라고 생각을 해도 좋고요 같은 루트끼리는 덧셈 뺄셈을 할 수 있다 같은 루트끼리만 덧셈 뺄셈을 할 수 있다 그렇게 기억을 해 두시기 바랍니다

자 개념 이제 보도록 할 건데요 1번 2루트 7 + 5루트 7이고요 두 개를 더하면 2와 5를 더하는 거죠 루트 7을 문자처럼 생각해서 7루트 7이라고 계산을 해주면 됩니다 자 2번 보면루트 32 - 루트 18이면 얼핏 봐선은 지금 루트의 값이 다르기 때문에 계산이 안 될 것처럼 보여요 하지만 우리가 지난 시간에 배웠던 내용 중에 루트 안에 제곱인 인수를 밖으로 꺼내야 한다 그랬어요 그러면 루트 32는요 루트 16 곱하기 2구요 루트 16은 4의 제곱 곱하기 2니까 우리가 4루트 2라고 계산을 할 수 있고요 루트 18은 루트 9 곱하기 2니까 3루트 2라고 계산을 할 수 있습니다 9가 3의 제곱이니까 3을 밖으로 뺄 수가 있죠 따라서 얘는 4√2 - 3√2와 같고요 우리가 얼핏 봐서는 루트가 다른 것처럼 보였지만 우리가 제곱인 인수로 밖으로 꺼내고 보면 같은 루트가 나왔습니다 그러면 뺄셈을 할 수가 있게 되는 거죠 그렇기 때문에 답은 루트 2로 나옵니다 여기까지 됐죠넘어가 볼게요 자 그 노래를 포함한 복잡한 식의 계산인데요 근호를 포함한 시기에 일단 분배법칙이 성립을 해요 자 abc가 양수일 때에 루트 a 그리고 루트 B + - 루트 c에 대해서 자 플러스 마이너스는 우리가 플러스일 때란 마이너스일 때랑 우리 각각 둘 다 성립한다는 겁니다 자요 루트 a를 분배해 줄 거예요 그러면 루트 a 루트 2 루트 a 루트 c가 되고요 각각 루트 AB 루트 ac가 됩니다 자 만약에 가운데가 플러스였으면요 여기도 +1 테고요 여기도 플러스겠죠 갑자기 마이너스로 바뀌진 않을 겁니다 자 그리고 마이너스일 땐 두 개를 루트 AC 그리고 루트bc로 바꿀 수 있고요 여기도 마찬가지로 흘렀으면 플러스 그리고 플러스 마이너스라면 -가 성립하고 -가 성립하고 복부 동승이라고 써있죠 자 간단하게 우리가 분배법칙 예제 한번 볼게요 제가 예시를 하나 들어볼 건데요 루트 5 - 루트 2의 루트 3이 곱해져 있습니다 그러면 분배법칙 써서요 루트 곱하기 루트 3 - 루트 2 곱하기 루트 3으로 계산을 해주면 됩니다 루트 15 - 루트 6으로 계산이 되겠죠 어렵지 않습니다 자 밑에 이제 우리가 혼합계산 근호를 포함한 식의 혼합계산인데요 괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀어줘야겠죠 우리가 이렇게 괄호가 써 있으면 괄호를 풀어 줘야 돼요 자 그리고 제곱의 인수를 밖으로 빼 줘야 됩니다 제곱인 인수를 왜 밖으로 빼요 그래야 덧셈 뺄셈을 할 수 있는 루트가 어떤애들인지를 우리가 찾을 수가 있는 거예요 우리가 아까도 이렇게 봤을 때는 덧셈 뺄셈을 못하는 루트였는데 제곱인 인수를 밖으로 뺐더니 우리가 계산을 할 수가 있었죠 자 그렇기 때문에 제곱인 인수를 항상 밖으로 뺀 다음에 그다음 우리가 덧셈 뺄셈을 할 수 있는지 체크를 하는 겁니다 자 그리고 분모의 무리수가 있으면 유리화 해 줘야 되고요 자 이렇게 각각 정리를 모두 한 다음에 곱셈 나눗셈 계산하고 덧셈 뺄셈 쭉 계산해 주면 됩니다

자 1번 먼저 보도록 하겠습니다 1번은 자 루트 3의 루트 6 플러스 루트 2를 간단히 하시오라고 되어 있고요 우리가 요거는 분배법칙을 통해서 계산을 해주면 됩니다 루트 3을 곱하고 루트 3을 곱하고 자 이렇게 계산을 해주면 루트 3 곱하기 루트 6 + 루트 3 곱하기 루트 2구요 자 루트 18 + 루트 6이죠 자 이때 여기 써 있는 28이9 곱하기 2이기 때문에 우리가 9는 3의 제곱이죠 3의 제곱은 이렇게 바깥으로 뺄 수 있습니다 3루트 2+ 루트 6으로 정리할 수 있겠네요 자 2번 한번 풀어보도록 하겠습니다 이번엔 루트 15 - 루트 7의 루트 3을 곱했는데 요거는 이제 루트 3을 이렇게 곱하고 요렇게 곱해주면 되겠죠 자 그러면 루트 15와 루트 3의 곱이면 루트 45구역 루트 7과 루트 3의 곱은 루트 21입니다 자 이때도 우리 여기 써 있는 45가 9x 5니까 9는 3의 제곱이라 바깥으로 뺄 수가 있겠네요 3루트 5 - 루트 21로 정리가 됩니다

자 마지막 3번 볼 거고요 루트 2분의 부모 분자의 뭐를 곱해주냐 바로 루트 2를 곱해주는 겁니다 분모에 있는루트 위를 그대로 곱해주면 분모는 2가 되고요 분자는 루트 12 - 루트 6이 되겠네요 자 이때 여기 루트 안에 들어가 있는 12는 3 곱하기 4입니다 3 곱하기 4니까 4는 2의 제곱이어서 우리가 2를 바깥으로 이렇게 뺄 수가 있는 거예요 자 이때 2분의 2 루트 3 - 2분의 루트 6으로도 쓸 수 있고요 2만 약분이 되죠 그러면 루트 3 - 2분의 루트 6으로 정리가 됩니다 여기까지 됐죠 자 그러면 우리가 이제 넘어가서 필수 예제 한번 풀어 보도록 하겠습니다 자 루트 20 플러스 루트 3의 루트 15 - 2√2를 다음과 같이 정리하라 그랬어요 유리수 ab에 대하여 a+b의 값을 구하라고 했고요

자 좀 하나씩 보도록 할게요 일단은 루트 20은 우리가 제곱인 인수를 바깥으로 뺄 수가 있습니다 20은 4 곱하기 5기 때문에4는 2의 제곱이죠 그러면 2를 바깥으로 빼서 2루트 5가 되고요 + 루트 3의 루트 15-2루트 2인데 자 루트 3을 우리가 분배해 줘야겠네요 각각 한 번씩 곱해 줄 거고요이 루트 5 플러스 루트 45 -2 루트 6입니다 그러면이 루트 5 플러스 자 여기서 45는요 9 곱하기 5구요 3의 제곱 곱하기 5니까 3의 제곱이 들어 있어서 3을 바깥으로 뺄 수가 있죠 그러면 3√5가 되는 겁니다 그리고 -2√6까지 계산해주면 되고요 우리가 여기서 덧셈 뺄셈을 계산할 건데 루트가 같은 것끼리만 계산할 수 있으니까 5루트 5라고 쓸 수가 있어요 5 루트와 마이너스 2루트 6이 되고요 요게 지금a 루트 5 + B 루트 6골이라 그랬으니까 우리가 a 값을 여기 있는 5라고 하면 되고요 b값을 부호 포함해서 -2라고 하면 되겠네요 따라서 a는 5b는 -2가 됩니다 a+b의 값은 3으로 나오겠네요

자 그러면 우리가 여기까지 해서 우리가이 제곱근의 덧셈 뺄셈까지 모두 마무리 했고요 그러면 우리가 지난 시간 하고 이번 시간에 배운 것까지 하면 루트를 계산하는 방법을 모두 배웠어요 자 그럼 우리가이 배운 내용들을 배운 내용들을 정말 많이 연습을 해야 돼요 우리가 루트는 1학기 과정 내내 사용하게 될 거고요 1학기 과정뿐만 아니라 뭐 2학기 과정 그리고 고등학교에 가서도 정말 일상처럼 사용하는 내용들이니까 우리가 꼭 연산도 많이 연습해 보시고 문제도 많이 풀면서 공부 꼼꼼하게 하시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨고요감사합니다