[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 다항식의 곱셈과 인수분해 - 곱셈 공식

자 우리가 오늘 배울 내용은 곱셈 공식입니다 자 여기는요 학생들이 제일 싫어하는 단어 중 하나예요 왜냐하면 외울 공식들이 좀 있습니다 공식들이 있다 보니까 요거를 너무 싫어해요 자 하지만 우리가 어찌됐든이 수학을 배워야 되고 우리가이 공식들을 외워야만 우리 뒤에 있는 2차 방정식이나 2차 함수를 나갈 수가 있어요 그렇기 때문에 우리가 오늘 이거 강의를 듣고 그대로 진도를 계속 나가지 말고요 꼭 공식 외우고 공식 적용시키는 연습하고 문제 풀고이 과정이 꼭 필요합니다 그리고 꼭 해야 돼요 우리 공식을 외우지 않으면 우리 뒤에 있는 걸 아무것도 할 수가 없습니다 자 분명히 말씀드렸어요 꼭 하셔야 돼요 자 그럼 일단은 우리가 도대체 곱셈공식이 뭐길래 뭐길래 그러는지 좀 배워보도록 할게요

자 일단은 우리가 다항식과 다항식을 전개하는 방법을 배워 볼 겁니다 자 다음 식과 다음 식의 곱셈 전개하는 것을 배워 볼 건데 만약에 a+b와 c+d를 계산한다고 해볼게요 자 요거는요 분배법칙을 이용하여 전개를 해야 되고 동류항이 있으면 동류항끼리 모아서 간단히 한다라고 되어 있는데 자 일단은이 a+b의 c+d를 곱한다라고 하면이 a+b를 먼저 c에다 한번 곱하고 뒤에다 한번 곱했다고 생각을 해 볼게요 그러면 a+b 곱하기 C 그리고 a+b 곱하기 d죠 자 그러면 요게 ac+bc고요 ad+bd가 돼요 자 그래서 우리가 다항식과 다항식의 곱셈은 조금 곱해야 할 항들이 좀 많아요 자 이렇게 4개의 항이 나오게 되고요 4번 곱셈을 해야 되는 것이고 그네 번 곱셈은 우리가 항상 이렇게 얘를 분배법칙을 한 번 적용시키고 두 번 적용시키는 것이 아니라 조금 더 편하게 항을 하나씩 보는 겁니다 자 이렇게 있는 a를 한번 곱하고 여기 뒤에도 한번 곱하고 그리고 여기 있는 b를 c에다 한번 곱하고 뒤에다 한번 곱하고 이렇게 총 4번 계산을 해서 쭉 적어 주면 돼요 자 그러면 우리가이 다음 식과 다항식의 곱셈 이용해서 이 개념 예제에 한번 직접 해보도록 할게요

자 1번 보면요 3a+4b의 a+2b예요 자 그럼 계산을 어떻게 해야 된다고요 요거 하나 요거 둘 먼저 할게요 그러면 3a 곱하기 a + 3a 곱하기 2이고요 요번에 4B 곱하기 a 4B 곱하기 2입니다그러면 4B 곱하기 a 4B 곱하기 2b 자 이거를 쭉 계산을 해주면 4a의 제곱 플러스 6a의 B + 4a의 B + 8b 제곱이 되고요 자 우리가요 경우에는 지금 6ab와 4ab라는 동류항이 있습니다 우리가 문자가 같은 항을 동류항이라 그러죠 동류항은 덧셈이 되기 때문에 덧셈까지 해서 3a² + 10ab + 8b 제곱이라고 계산을 해주면 됩니다 자 그러면 2번도 한번 같이 해 볼게요 자 우선 요렇게 a 가지고 EA 한번 곱하고 얘 한번 곱하고 자 그렇게 계산을 해주면 a * 2A + a 곱하기 b죠 자 이번엔 뒤에 있는 2b를 곱할 건데 여기서 주의해야 될게 지금 부호가 마이너스에요그러면 -까지 같이 곱해주는 겁니다 -2b랑 2a랑 곱하고 -2b랑 b랑 곱하고 그러면 -2b 2A + -2b 자 계산을 해주면요 2a의 제곱 + AB - 4a의 B - 2b제곱이고요 자 이 경우에도 지금 동류항이 있습니다 종양이 있고요 요거를 계산을 해주면 ea의 제곱 마이너스 3ab - 2b 제곱으로 계산이 되죠 자 이렇게 우리가 다음 주가 다음 식의 곱셈을 전개할 때는 이렇게 여러 번 계산해 줘야 되는 거 우리가 요렇게 계산을 해 줘야 됩니다

자 이제 곱셈공식이 나오는데요 우리가 이런 다항식기 전개를 앞으로 정말 많이 하게 될 건데 매번 이렇게 4번 계산을 하지 않겠다 이겁니다 자일단은 하나씩 볼 거고요 1번에 보면 a+b의 제곱이 있어요 그러면 우리가이 a+b의 제곱을 계산하라 그러면 학생들이 제일 많이 처음 생각하는 것은 a² + B 제곱이라고 써요 그런데 요게 두 개가 같지가 않습니다 이게 지금 같은게 아니에요 정말 중요합니다 a+b^2은 a² + B 제곱이 아니에요 자 왜냐 a+b의 제곱은요 a+b를 두 번 곱한 거고요 두 번 곱한 거를 계산하니까 요렇게 하나 둘 셋네 번 계산하는 거예요 그래서네 번 계산을 해주면 a² + AB ba B 제곱이 나오고요 a 제곱 2ab + B 제곱으로 계산이 됩니다 자 이렇게 계산이 돼요그러면 우리가 이식을 외우는 겁니다 요식을 우리가 외워서 만약에 우리가 a+b의 제곱을 전개를 해야 된다 그러면이 식을 떠올려서요 10대로 우리가 전개를 시켜 주는 거예요

자 예를 들어서 자 개념 예제 한번 1번 풀어볼게요 우리가요 1번에 관련된 개념 예제의 1번 같이 풀어보도록 하는 거예요 자 ex+1의 제곱이죠 자 그러면 맨 앞에 뭐가 오는 거예요 a의 제곱이죠 그러면 여기 ex를 제곱을 하는 겁니다 그럼 뭐가 나와요 ex를 제곱하면 4x²이 나오죠 4x제곱 자 그리고 요번엔 2ab를 계산을 할 거고요 2ab는 2 곱하기 2x와 1을 한 번씩 곱해주는 겁니다 자 그다음 뭐가 나와요 B 제곱이 나오죠 뒤에 있는 거 제곱한 걸 더해주는 겁니다 그러면+1의 제곱 따라서 4x² + 4x + 1이 되죠 자 그래서 우리가 요거를 적용시키는 연습도 해야 돼요 공식을 외우고 그 공식을 가지고 요런 식들을 전개하는 연습까지 하는게 우리가 이번 시간 끝나고 여러분들이 해야 될 일입니다 요거는 제가 옆에서 앉혀놓고 할 수가 없기 때문에 여러분들이 꼭 집에서이 수업 끝나고 노트를 피고서 문제도 풀고 우리의 다양한 적용도 공식을 적용을 시켜보면서 연습을 꼭 해야 돼요 자 그러면 우리가 일단 곱셈 공식 5번까지 끝까지 가도록 할게요

자 이번엔 a - b의 제곱은 a 제곱 마이너스 2ab + B 제곱이고요 그러면 아까처럼 한번 전기를 해보겠습니다 a-b의 제곱은 a - b와 a - b의 곱이고요 자 우선 a와 a를 곱한 거 1번 2번 3번4번 할 건데 주의해야 될 거는 여기는 지금 -b를 가지고 전개를 할 겁니다 그러면 맨 처음에 a의 제곱 요렇게 하면 a제곱 이렇게 하면 -ab 이렇게 하면 또 - AB 이번에 이렇게 하면 +비제곱 따라서 나오는 건요 a의 제곱 마이너스 2ab + B 제곱으로 나오겠죠 그래서 요것도 우리가 공식 알아두셔야 되고요 자 이번에 3번 a+b a 마이너스 b입니다 그걸 계산하면 a² - B 제곱이 나온대요 자 3번은요 a+b의 a - b구요 마찬가지로 자 1번 2번 먼저 계산한 거 써주면 a의 제곱 마이너스 ab죠 자 요번엔 요렇게 3번 이렇게 4번그러면 플러스 AB - B 제곱이라고 나와요 그러면 - AB + AB 사라지고요 우리가 남는 건 a^2 - B 제곱이 나옵니다 자 우리가이 공식에는 이름이 있는데요 앞차 공식이라고 합니다 합차 공식 앞차 공식이라고 하고요 합과 차를 곱해 놨다는 식으로 식의 이름이라서 합차 공식이라고 하는 거예요

자 4번 보도록 할게요 x+ax+b고요 여기에는 x² + a+bx + AB 이런 식으로 나와 있는데 자 한번 전개를 해 볼게요 실제로 저식이 맞는지 x+a의 x+b를 계산을 해주면 x의 제곱 플러스 BX 플러스 이렇게 하면 ax 이렇게 하면 ab죠 자 계산을 해주면 x 제곱 플러스x에 관한이 계수가 a+b로 나오죠 a+bx + AB 이렇게 계산이 됩니다 자 요식은요 우리가 지금 어디가 똑같아요 앞에가 똑같습니다 x로 똑같을 때 뒤에 있는 숫자가 달라요 지금 하나는 a이고 하나는 b죠 자 그러면 여기는 뭐가 나오냐 두 개의 합이 와요 여기는 뭐가 와요 고비오적 자 그래서 합과 곱이 이렇게 차례대로 오는 겁니다 자 마지막 4번은요 그냥 일반적인 ax+b cx+t 일반적인 형태라고 볼 수가 있고요 요거를 전개하면 요게 나온데요 자 한번 실제로 저게 나오는지 계산을 한번 해 볼게요

자 5번은요 지금 ax+b의 cx+d구요 자 계산을 마찬가지로 4번 할 겁니다 하나 둘 먼저 계산을 해주면 acx의 제곱+ adx 자 이번엔 이거랑 이거를 계산할 거고요 플러스 bcx + bd로 나오죠 그러면 acx 제곱은 이렇게 써주고 여기 있는 1차항들 ad+bc의 x라고 쓰고 마지막 bb까지 써주면 되겠네요 자 그래서 요거를 계산하면 요게 나온다 우리 차례대로요 2차항은 맨 앞에 있는 것끼리 곱해준 거고요 뒤에 있는 상수항은 뒤에 있는 것끼리 곱해준 겁니다 자 가운데 있는 x의 계수는 어떻게 나온 거예요 이렇게 곱한 거랑 이렇게 곱한 거랑 더해주는 겁니다 ad+bc다 자 그러면 우리가이 공식을 외워온 상태에서 외운 상태에서 적용시키는 연습을 하는 거예요 자 그러면 개념 예제 한번 보도록 할게요 자 2번 보면요x-4y 제곱이라고 되어 있어요 그러면 우리가 공식을 외운 상태에서 요거를 적용시키는 연습을 하는 겁니다 자 뭐의 제곱이니까 앞에 거 제곱하고 - 들어가 있으니까 여기 마이너스고 2 곱하기 앞에 거 곱하기 뒤에 거 플러스 뒤에 거의 제곱 따라서 x 되고 - 8xy + 16와 2의 제곱 요런 식으로 우리가 공식을 외우고서 적용시키는 연습을 해주면 돼요 자 3번은요 우리가 지금 숫자가 다 똑같습니다 2A 2A 3B 3B 그런데 부호만 다르죠 우리가 이렇게 플러스와 마이너스를 번갈아 곱한 건 우리가 합차 공식이라고 하고요 앞에 거의 제곱에서 뒤에 거의 제곱을 뺀 겁니다 따라서 4a의 제곱 마이너스 9b²으로 계산을 하면 됩니다 자 3번은요 지금앞에 있는 x가 동일해요 x가 동일하고요 요거를 4번 공식을 가지고 계산을 해주면요 일단은 x의 제곱 그리고 여기는 뭐가 온다 그랬어요 뒤에 있는 숫자들의 합이 옵니다 얘네들의 합이 오는 거예요 그러면 2와 -5를 더하면 -3 그리고 X + 자 상수항은 뭐가 와요 두 개의 곱이요정 그래서 요거를 우리가 정리를 해주면 x 되고 - 3x-10으로 계산이 됩니다

자 마지막 4번이고요 우리가 맨 앞에 오는 거는 요렇게 ex랑 3X 곱해서 6x 제곱이고요 y랑 -2y 곱한 -2y 제곱이 맨 뒤에 옵니다 가운데는 뭐가 오냐면 우리가 여기에는 이렇게 두 개 곱한 거 이렇게 두 개 곱한 거를 더한게 오고요 ex랑 - 2y를 곱하면-4xy고 얘랑 얘를 곱하면 3xy기 때문에 두 개를 더하면 -xy가 오는 거예요 자 따라서 6x 되고 -xy - 2y 제곱이 답이 됩니다 자 곱셈공식 상당히 복잡해 보여요 복잡하기 때문에 공식 일단 꼭 외우고 정말로 연습하셔야 돼요 제가 지금 정말 계속 거듭해서 말하고 있는데 우리가이 곱셈 공식을 안 외우고서 기회를 나갈 수가 없어요 여러분 이게 밀리기 시작하면 끝이 없기 때문에 꼭 끝나고 바로 공식 외우고요 공식을 외운 다음에 문제를 푸는 겁니다 공식을 안 해오는데 문제를 풀면서 공식을 외워야겠다는 생각을 하지 마세요 공식을 외우고 문제를 푸는 겁니다 자 그러면 일단은 뒤에 있는 우리가이 필수 예제까지 풀어보고 이번 시간은 좀 마치도록 할게요 자 우리가 요거를 전개해서 요게 된대요 두 개가 같은 식이라 그랬으니까 우리가 왼쪽에있는 식을 전개를 해 줄 거고요 x의 제곱 플러스 우리 뒤에 있는 -a랑 +1을 더해준 2-a의 x가 5구요 이번에는 플러스 2와 -a를 곱한 -2a가 상수항으로 오게 됩니다 그러면 완전히 같은식이 돼야 되니까 x의 계수인 2-2가 + 3하고 같고요 2 -a는 3이랑 같고 뒤에 있는 상수 b는 -2a와 같습니다 자 따라서 여기서 a는 -1이 나오고요 여기서 b는 2가 나옵니다 따라서 A + b의 값은 몇이에요 1이 나오죠

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 곱셈 공식 모두 배워 봤구요 곱셈공식에서 정말 중요한 것은 암기를 넘어서암기를 넘어서 익숙해져야 돼요 익숙해져야 되고 숙련돼야 됩니다 우리가 익숙해지고 숙련이 될 때까지 문제를 풀고 공식을 이해해야 돼요 자 그가 좀 정말 중요하니까요 다른 과정보다 더 더이 부분이 중요한 단원입니다 그러니까 꼭 복습을 꼼꼼하게 그리고 문제도 많이 푸시고 우리가 다음 강의로 넘어가시길 바랍니다 절대 절대로 공식을 외우지 않은 상태로 문제를 풀면 안 돼요 이번 시간은 여기까지 하도록 할게요 고생 많으셨습니다