[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 다항식의 곱셈과 인수분해 - 곱셈 공식의 응용

자 우리가 오늘 배울 단어는 곱셈공식의 응용입니다 자 지금 단원 이름을 보면 곱셈 공식에 응용이에요 자 곱셈공식을 응용하는 것을 오늘 배울 건데요 지난 시간에 곱셈 공식을 배우면서 샘이 거듭 말한게 있죠 곱셈 공식을 외우고 그 다음에 문제를 풀어서 적용시키는 연습도 충분히 한 다음에 다음 강의를 들으라고 했어요 자 우리가 그래서 지금 배울 단원이 응용인데 곱셈공식을 제대로 숙지하지 않았다면 아직 숙달되지 않았다면 우리가 응용하는 데에는 당연히 어려움이 있고 이해가 잘 안 될 거예요 그러니까 곱셈공식 강의 꼭 듣고 외우고 연습까지 잘한 다음에요 강의 들으시기 바랍니다 자 그러면이 곱셈공식의 응용 한번 배워보도록 할게요

자 일단은요 우리가 곱셈공식의변형인데요 곱셈공식의 항을 적당히 이양하면 다음에 공식을 얻을 수 있다 그랬어요 자 우리가 a+b의 제곱을 전개한 식을 a² + 2ab + b²이라고 외웠어요 이때 a² + B 제곱을 남기고 eab를 다른 변으로 넘기면 우리는 a² + B 제곱은 a+b의 제곱 마이너스 2ab라는 식을 얻어낼 수가 있습니다 자이 식은 어떻게 쓰냐 우리는 a² + b^2 즉 제곱의 합을이 a+b의 값과 ab의 값을 알면 구할수 a의 제곱 -2ab+ B 제곱이라는 식을 얻을 수가 있고요 이것도 마찬가지로 a² + B 제곱에 관해 정리를 해주면 a - b² + 2ab라는 식을 얻어낼 수가 있습니다 그래서 두 번째 식은 그렇게 나온 시기에요 자 그리고요 우리가요 두식을 연립방정식처럼 빼 볼 겁니다 빼면요 좌변에는 0이 남구요 우변에는 a+b의 제곱 마이너스 2ab -a-b^2 -2ab가 돼서 -2ab -2b 계산하면 -4ab가 되니까 요거를 a+b의 제곱에 관해서 정리를 해주면 이게 어떻게 정리가 돼요 a+b의 제곱 요거는 a - b의 제곱 + 4 ab라는식이 정리가 되는 겁니다 자 그래서 우리가 합을 가지고 어떤 합의 제곱을 계산할 때 4와 곱으로 계산을 할 수가 있다 이런 식으로 우리가 식을 또 활용을 할 수가 있고요 자 밑에 식은 우리가 여기에 있는 플러스 사이비를 좌변으로 넘겨서 정리한 식입니다 비슷하게 생겼죠 자 그래서 우리 1번 2번 3번 4번 식을 정확히 알고 있어야 되고요 사실 하나하나 새로 외우는 내용들은 아니에요 우리가 요식을 요식을 정확하게 외우고 있었다면 우리가 그냥 이양으로 만들어 낼 수 있는 시기니까 우리요 4가지 꼭 같이 기억해 두도록 할게요

자 개념 예제 보도록 할 건데요 x+y가 오고 xy가 -2래요 그러면 x 제곱 플러스 y 제곱의 값을 구하라고 했는데 우리가 x 제곱 플러스 y 제곱은 x+y의 제곱 마이너스 2x y로 우리가 식을 쓸 수가 있고요x+y는 5고 -2 곱하기 XY = -입니다 따라서 25 + 4니까 29라고 계산을 할 수가 있겠죠 자 우리가 지금 위에서 배운 식을 활용하기는 했는데 사실 기존에 알고 있는 식을 이용해서도 충분히 구할 수가 있어요 x+y의 제곱은 x 제곱 플러스 2xy + y 제곱이고요 x+y 오니까 25는 x 제곱 xy가 -2니까 -4 + y² 이구요요 -4를 -4를 이항을 하면 우리가 x 제곱 플러스 y 제곱은 29라고 동일하게 값을 구할 수가 있습니다 자 어찌됐든 우리가 이식을 활용할 수 있다는 점 이렇게 다양하게 이항을 해서 활용할 수 있다는 점 기억하시면 좋을 것 같고요 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 곱셈 공식을 활용한 분모의 유리화인데요 자 곱셈공식 뭐를활용한다 그랬냐면 x+y x - y의 곱이 x 제곱 마이너스 Y 제곱이라는 식이랍니다 자 이거를 우리가 곱셈 공식 단원에서 배웠고요 이거를 활용해서 분모를 유리화를 한대요 자 우리 분모의 유리화라 그러면 무리수인 분모를 유리수로 바꾸는 과정을 분모에 유리화라고 했고요이 분모의 유리화라고 해서 우리가 어떤 걸 배웠냐면 분모에 딱 루트가 하나 들어가 있는 거예요 요런 식으로 그러면 우리가 3분의 4 루트 3으로 바꿀 수가 있죠 분모분자의 똑같은 루트를 곱해서요 자 우리가 요거는 예전에 배웠던 분모의 유리화에요 그런데 우리가 오늘 배울 거는 분모가 조금 더 복잡해집니다 자 일단 ab가 유리 쓰고 c가 실수일 때요 분모가 지금 a+ 루트 B 꼴입니다 자 a+ 루트 B 꼴이면 제가 얘를 요렇게 들어볼게요이 플러스 루트 3분의1이라고 해보겠습니다 그러면 분모의 지금 루트 3이 있다고 분모분자의 루트 3을 곱해주면요 루트 3을 곱해주면 분모가 계산이 어떻게 되는 거예요이 루트 3 + 3으로 되는 거예요 분자는 루트 3이고 자 그런데 요게 지금 분모의 유리화가 잘 됐나요 잘 안 됐죠 아직 지금 루트 3이 남아 있어요 요렇게 분모가 a+ 루트 B 꼴일 때는 우리가 분모분자의 똑같은 루트를 곱한다고 유리화가 올바르게 되지는 않습니다 자 이런 경우에는 우리가 어떤 방법을 써서 유리화를 해야 되냐 바로이 a+ 루트 b에서 가운데 부호를 받고 a 마이너스 루트 b를 a - 루트 b를 분모분자의 곱해주는 겁니다 자 뭘 곱해준다고요 분모에서 가운데 부호 바꾼 거를 곱해주는 겁니다 자 이렇게 되면 분모가 바로이합차 공식에 의해서 이 곱셈 공식에 의해서 분모가 유리수로 나와요 왜냐하면 합차 공식을 쓰면 제곱에서 제곱을 뺀 형태가 되니까 루트를 제곱하면 루트가 사라지죠 그렇기 때문에 제곱을 해서 루트가 없어진 형태로 우리가 유리화를 이렇게 시킬 수가 있는 겁니다 그러면 제가 아까 예시로 들었던이 플러스 루트 3분의 1이면 분모분자의 지금 뭐를 곱해줘야 되는 거예요 부모분자의 가운데 부호를 바꾼 2 - 루트 3을 곱해주는 겁니다 자 2-루트 3을 분모분자의 곱해주면 분모는 2의 제곱 마이너스 루트 3의 제곱이고요 분자는 그대로 2-루트 3이죠 그러면 분모가 4-3이고 분자가 2-루트 3이니까 분모가 1이어서 그냥 e-루트 3이라고 계산이 되는 거예요 자 당연히 우리가 본문은 0이 되면 안 되기 때문에 이렇게 a²은 b와 같지 않다는 조건이 들어 있는 거고요 지금 루트를이기 때문에 루트 안에는 항상 양수가 들어가야 돼서 b가 양수라는 조건 같이 써 있는 겁니다

자 제일 중요한 건 뭐라고요 제일 중요한 건 만약에 분모가 분모가 a+ 루트 b예요 그러면 우리는 분모분자의 뭐를 곱해준다고요 가운데 부호를 받고 a - 루트 b를 곱해준다고요 자 요게 오늘이 분모의 요리화에서 배운 핵심입니다요 내용을 기억을 해줘야 돼요 자 그러면 2번도 똑같이 가볼건데요 지금 여기 루트 a+ 루트 b예요 여기는 루트가 둘 다 있네요 자 그렇다고 달라지지 않습니다 결국은 가운데 부호 바꾼 거를 곱해주는 거예요 가운데 부호를 바꾼 걸 곱해주는 거니까 원래 루테이플러스 루트비였으면 -를 넣어서루트의 마이너스 루트 b를 분모분자에 이렇게 곱해주면 됩니다 그러면 분모는 a - b가 되고요 분자는 c의 루트의 마이너스 루트비가 되겠죠 자 여기는 루트 안에 a도 있고 b도 있기 때문에 AB 둘 다 양수라는 조건 들어가 있고요 분모가 0이 되지 않도록 분모가 0이 되면 안 되니까 a랑 b랑 같지 않다는 조건 들어가 있는 겁니다

자 우리 2번은요 밑에 있는 개념 예제에서 연습해 보기로 하고요 일단이 개념 예제의 1번 2번 3번 차례로 풀어보도록 할게요 제가요 1번을 개념 예제 1번을 여기다가 풀도록 하겠습니다 자 다음 수의 분모를 유리화 하라고 했고요 3 - 루트 3분의 2인데 자 3 - 루트 3분의 2면요 우리가 분모분자의 뭐를 곱해줘야 돼요 분모분자의 가운데 부호를 바꾼 3+루트 3을 곱해주는 겁니다 자 3+루트 3을 곱했을 때 분모가 지금 3의 제곱 마이너스루트 3의 제곱으로 나오고요 분자는 2의 3 + 루트 3 그대로 있습니다 자 그러면 분모가 9 - 3이기 때문에 9에서 3을 빼면 우리가 6이라고 계산을 할 수 있고요 6분의 3 + 루트 3의 2를 곱해 놨죠 지금 그러면 2랑 6이랑 약분하면 우리가 3분의 3 + 루트 3으로 계산을 할 수가 있습니다 자 이번엔 2번 보도록 할 건데요 이번은 여기다가 풀게요 자 문제에서 준거는 3 + 2루트 2분의 5입니다 자 변하지 않아요 원래 있던 분모의 가운데 부호를 바꾼 3-2√2를 곱해주는 거예요 3 - 2루트 2를 자 이렇게 곱해주면 분모가 뭐가 나오냐면 3의 제곱 마이너스 2루트 2의 제곱이고요 분자는 5의 3 - 2루트 2가 됩니다 자 그럼 분모는 우리가9-8이니까 1이 되고요 분자는 그대로 15 - 1루트 2라고 우리가 분배법칙을 쓸 수가 있겠죠 그래서 답을 15-10 루트 2라고 써주면 됩니다 자 마지막 3번이고요 자 3번은 루트 3 + 루트 2분의 루트 3 - 루트인데요 루트가 두 개 들어가 있다고 우리가 다른 걸 하는게 아닙니다 자 이렇게 다른게 들어가 있어도 루트가 똑같이 들어가 있으니까 우리는 가운데 부호를 바꿔서 루트 3 - 루트 2를 분모분자의 곱해주는 거예요 자 그러면 분모는 우리가 루트 3의 제곱에서 루트 2의 제곱을 빼는 거니까 3 - 2기 때문에 계산하면 1이 돼요

자 그런데 분자가 지금 보면 루트 3 - 루트 2가 두 번 있죠 루트 3 - 루트 2의 제곱이 되는 겁니다똑같은 걸 두 번 곱했기 때문에 제곱이 되는 거고요 루트 3 - 루트 2만 그러면 전개해주면 되겠네요 곱셈 공식을 이용해서 전개를 합니다 자 루트 3의 제곱 마이너스 2 곱하기 루트 3 곱하기 루트 2 + 루트 2의 제곱 따라서 3 -2√6 + 2고요 최종적으로 5-2√6이라는 답이 나옵니다 자 여기까지 됐죠 우리가 조금 새로운 유리화하는 방법을 배웠어요 어떻게 하면 된다고요 가운데 부호만 바꾼 거를 곱해주면 된다고요 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 공통 부분이 있는 시계 전기입니다 자 복잡한 식을 전개할 때 공통 부분이 있으면 자 공통 부분이 있을 때입니다 공통부분이 있으면 우리는 공통 부분을 한 문자로 놓습니다 우리가 요거를 치환이라고 하죠 우리가 다른 문자로 잠깐놓는 거예요 지원을 해서 전개를 먼저 해주고 다시 공통 부분을 대입하여 전개하는 거예요 자 치환한 다음에 시원한 다음에 전개하고 그 다음에 대입을 하는 겁니다

자 우리 밑에 있는 개념 예제 한번 풀면서 어떻게 하는지 한번 보도록 할게요 자 요거를 전개하라고 했는데요 자 우리 눈에 지금 공통 부분이 있죠 x 제곱 플러스 x가 공통 부분입니다 자 만약에 우리가 공통 부분을 치환하지 않는다면 이식을 전개하는 거는 꽤 어려워요 우리가 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 일곱 여덟 아홉 번 전개를 원래 해줘야 돼요 근데 우리가 요런 거는 이렇게 전개하지 않고요 우리는이 공통부분 x 제곱 플러스 x를 한 문자로 치환을 하는 겁니다 자 x 제곱 플러스 x를 우리가 t라고 안치환을 해볼게요그러면이 주어진 식을 우리가 어떻게 표현할 수 있냐면 t+1의 t-3이라고 쓰일 수가 있죠 자 그러면 우리가 이거를 t에 관한 식으로 봤을 때 우리가 곱셈 공식을 통해서 전개를 할 수 있는식이 된 거예요 자 그러면 전개를 합니다 d의 제곱이라고 -3을 더해서 - 2P이라고 -3을 이번엔 곱해서 -3이 되죠 자 그러면 t^2 - 2T -3이 되는데 여기서 끝나는게 아니라 우리는 치환했던 문자 문자를 다시 원래대로 돌려놔야 돼요 x 제곱 플러스 x니까 여기다가 x 제곱 플러스 x를 대입을 할 거예요 x 제곱 플러스 x의 제곱 마이너스 2의 x 제곱 플러스 X -3이고요 자 그러면 요거는 또 뭐예요 곱셈 공식으로 전개를 할 수가 있죠x 제곱의 제곱 플러스 2 곱하기 x 제곱 곱하기 x + x의 제곱 자 뒤에 있는 거 분배법칙 쓸게요 -2x 제곱 마이너스 2x 그리고 -3까지 자 그러면 우리가 요거를 이제 정리만 해주면 되고요 x의 네제곱 2x에 3제곱 x의 제곱 마이너스 2x 제곱 마이너스 2x -3입니다 자 그러면 최종적으로 우리가 요거를 동류항끼리 계산해서요 요거를 -x 제곱으로 계산할 수 있으니까 x의 네제곱 플러스 EX 3 되고 - x 제곱 -2x-3이라고 우리가 전기를 할 수가 있습니다 자 요게 답이에요 됐나요

자 공통법은 우리가 치환하는 거에서 학생들이 좀 많이 생소해서 어려움을 느낄 수 있는데 잠깐 우리가 공통 부분을 다른 문자로잡았다가 다시 원래대로 돌려 놓는 거예요 우리가 원래 치환하기 전에는 조금 어려웠어요 전기하기가 전기하기 어려웠으니까 그거를 잠깐 치환해서 전개한 다음에 다시 원래대로 돌려 놓는다 너무 어렵게 생각하지 말고요 우리가 연습하면 충분히 할 수 있으니까 꼭 연습해 보시기 바랍니다 자 넘어가겠습니다

자 이번엔 곱셈공식을 활용한 수의 계산이고요 우리가 조금 계산하기 껄끄러운 숫자들 예를 들어 뭐 97 곱하기 103이라 그러면 우리가 듣기만 해도 계산하기가 싫은 숫자죠 자 그런데 그런 거를 우리가 조금 곱셈 공식을 활용하면 조금 더 쉽게 계산을 할 수가 있어요 자 일단은 내용을 좀 보면요 우리가 두 수의 곱은요 두수의 곱은 요렇게 a+b와 a 마이너스 b로 바꾸어서 우리가 이렇게 활용을 해주면 계산하기가 조금 더 편해요 예를 들어서제가 예를 하나 들어볼게요 49 곱하기 50일이라고 해볼게요 그러면 우리가 a+b와 A - b의 형태로 잡아줘야 되는데 자 a를 기준으로 잡습니다 자 a를 어떤 수로 잡냐면 우리가족은 중간쯤에 있거나 중간쯤에 있거나 아니면 우리가 계산하기 편한 숫자 그런 숫자들로 잡아주면 됩니다 자 49와 51이면요 우리가 49와 51의 중간인 50을 기준으로 잡아주면 되고요 49는 50-1이고 51은 50+1이죠 자 그러면 50의 제곱 마이너스 1의 제곱과 같으니까 50의 제곱은 2,500이어서 우리가 2499라고 쉽게 계산을 할 수가 있습니다 자 49 곱하기 51을 계산하는 것보다 우리가 요렇게 계산하는게 훨씬 쉽죠 자 이렇게 활용을 해주는 겁니다 중요한 건어떤 숫자를 기준으로 잡을 건가요 이거에 조금 초점을 맞춰서 연습을 해 주시면 됩니다 자 2번은 어떤 수의 제곱인데요 자 a+b의 제곱은 우리가 a² + 2ab + B 제곱이 되고 a - b의 제곱은 a² - 2ab + B 제곱이 되는데요 우리가 이거를 활용하면 어떤 수의 제곱을 직접 계산하지 않고도 조금 편리하게 계산을 할 수가 있습니다

자 요거는 우리가 있다 개념 예제 가서 해보기로 하고요 일단은 개념유예제 1번 먼저 보도록 하겠습니다 자 97 곱하기 103을 계산하라고 했는데 97과 103이면 어떤 수를 기준으로 우리가 나눠주는게 좋을까요 97과 103의 중간 정도 되는 우리가 100을 기준으로 식을 만들어 주면 됩니다 97은 100-3이고요 103은 100 + 3이죠 그러면 얘를 전개를 해주면 되게 되고 마이너스 3의 제곱이기 때문에 100 -9여서 우리가9,991이라고 계산할 수가 있습니다 자 2번은 102의 제곱인데요 여기도 마찬가지로 계산하기 쉬운 숫자를 기준으로 잡는 겁니다 100이기 때문에 배기의 제곱은 100 + 2의 제곱으로 바꿔주면 되고요 요거를 우리가 배운 곱셈 공식을 활용하면 됩니다 대개 되고 2 곱하기 100 곱하기 2 + 2의 제곱이고요 만 + 400 + 4니까 10,4라고 우리가 조금 더 편리하게 계산할 수가 있습니다 자 어떤 수를 잡는지 어느 정도 감이 오시죠 우리가 이렇게 계산하기 쉬운 숫자들 계산하기 쉬운 숫자들을 기준으로 잡아주면 됩니다 자 그럼 넘어가 보도록 할게요 자 우리가 우리 필수 예제 한번 풀어보고 이번 시간 마칠 거고요 그림과 같이 가로가 3x 세로가 4x인 직사각형이 있어요 자요 직사각형을 말하는 겁니다요렇게 생긴 직사각형을 말하는 건데 가로의 길이를 3만큼 늘리고 자 원래 3x였는데 3만큼 늘려서 길이가 요만큼 되는 거예요 자 그리고 세로의 길이는 이만큼 줄였습니다 여기가 되겠네요 이렇게 됐어요 자 그랬을 때이 새로 생긴 직사각형의 넓이를 구하라고 했고요 우리가 가로 길이는 3x에다가 3을 더했으니까 3x+3이 되고요 자 세로 길이는 우리가 4x에서 이만큼 줄였으니까 4x-2가 됩니다 따라서요 직사각형이 넓이는 4x-2 3x + 3이라고 우리가 식을 쓸 수가 있고요 우리가 곱셈 공식을 활용해서 요거를 전개해 줄 수 있죠 12x^2 + 4 곱하기 3 + 3 곱하기 -2로 우리가 3 곱하기 -2로 x의 계수를찾아낼 수가 있습니다 뒤에는 -6이고요 요거는 12 이거는 -6이니까 12x의 제곱 플러스 6x-6으로 정리가 됩니다 자 이렇게 넓이를 찾아 줄 수가 있어요

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 곱셈공식의 응용 모두 배워 봤구요 우리가 곱셈공식을 외웠더라도 응용을 처음 배우면 조금 어려움이 느껴질 수 있어요 근데 우리가 열심히 공부하고 문제 풀면 다 충분히 할 수 있는 내용이니까 공부 열심히 하면서 복습도 꼼꼼하게 하고 우리 꼭 잘 끝까지 가보도록 할게요 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다