[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 다항식의 곱셈과 인수분해 - 복잡한 식의 인수분해

자 오늘의 복잡한 시계의 인수분해입니다 자 복잡한 식의 인수분해인데요 자 우리가 인수분해를 지난 시간에 배웠어요 근데 그 내용이 지금 제대로 머릿속에 안 들어가 있다 그러면은 우리 오늘 여기 이해할 수 없습니다 다시 공부하고 여기 강의 들으셔야 되고요 오늘 여기서 배울 내용은 우리가 지난 시간에 배운 인수분의 내용을 가지고 좀 더 다양한 인수분해를 해 볼 거예요 조금 더 다양한식이 나오고 복잡한식이 나오기 때문에 인수분해 지난 시간에 배웠던 내용을 완벽하게 숙지한 상태로 공부를 해야 됩니다 자 그러면 한번 해보도록 할게요

자 일단요 복잡한 식의 인수분해인데요 여러가지 경우들이 있어요 여러가지 경우들이 있는데 몇 가지 한번 경우를 나눠서 어떻게 인수분해를 해줘야 되는지 보도록 할게요 자 먼저 공통인수가 있는 경우인데요 자 공통 인수가 있는 경우에는 우리가 공통 인수로 묶어서 인수분해합니다 자 우리가 요렇게식이 주어져 있는데 인수분해를 해야 돼요 그런데 봤더니 이렇게 봤을 때는 인수분해가 조금 어려운데 지금 y라는 인수를 모두 가지고 있죠 y를 모두 가지고 있습니다 그러면 y로 묶어내는 거예요 묶어 내면 남은 것들이 x제곱 마이너스 x-2니까 우리가 이거는 지난 시간에 배운 공식으로 인수분해할 수 있는 거죠 자 x 제곱 마이너스 x -2는 인수분해하면 어떻게 되는 거예요 자 우리가 곱해서 -2가 나오는 거 1과 - 2구요 더했을 때 -1이 나오죠 합이 마이너스 1이 나옵니다 그렇기 때문에 우리는 요거를 x + 1의 x - 2라고 인수분해할 수 있는 거예요 따라서 이렇게 나옵니다 자 공통 인수 묶어 낸다는 거 그거를 봐 주시면되고요

자 2번을 볼게요 자 공통 부분이 있으면 공통 부분을 한 문자로 놓고 인수분해 한대요 자 우리가 요거를 공통 공통 부분을 한 문자로 놓는 것을 치환이라고 하고요 예를 들어 지금 요런식이 주어져 있습니다 그러면 지금 문자가 x-2y라는요 부분이 똑같이 들어가 있죠 똑같이 들어가 있으니까 이거를 문자로 놓는 거예요 x-2y를 새로운 문자 a라고 놓으면요 요렇게식이 나오죠 자 뒤에 마이너스 8까지 전개해서 정리해주면요 a² + 2A -8이 나오고요 우리가 요거는 똑같이 요렇게 인수분해해 주면 되겠죠 a 제곱 플러스 2A - 8이면 -8은 2와 4의 곱인데합해서 2가 나와야 되니까 -2와 사이 곱이겠네요 요걸 두 개를 더해주면 +2가 나오죠 합이 이렇게 +2가 나옵니다 따라서 -2와 4를 가지고 a - 2의 a + 4로 인수분해할 수 있고요 a를 우리가 이렇게 치환을 했던 것을 다시 원래대로 돌려 놓으면 x-2y -2 x-2y + 4라고 최종적으로 인수분해가 이렇게 됩니다

자 3번 보도록 할게요 자 항이 4개일 때는 우리가 또 여러가지 방법이 있는데 공통 인수가 생기도록 우리가 인수분해를 몇 개의 항을 묶어주거나 a 제곱 마이너스 B 제곱의 꼴이 되도록 우리가 적당한끼리 묶습니다 자 둘 중 하나를 해주는 거고요 우리가 그때그때 이거를 생각을 해서 항의 4개니까 요렇게 하거나 요렇게 하거나 둘 중 하나다라고 생각하기보다는 그냥여러가지 방법을 경험을 쌓으면서 이렇게 할 수도 있고 이렇게 할 수도 있구나라는 거를 느끼면서 인수분해를 하는게 좋을 거 같아요 자 첫 번째 예시를 보면 요렇게 써 있습니다 x y + x - 2y -인데 제가 이거를 어떻게 인수분해할 거냐면 x도 있고 y도 있으니까 x 가지고 있는 애들끼리만 묶어 볼 거예요 자 x 가지고 있는 거는 xy랑 x죠 그래서 요거를 x로 묶으면 x의 y + 1이고요 뒤에 있는 애를 -1로 묶으면 -2의 Y + 1입니다 자 그러면 뭐가 지금 똑같이 들어가 있어요 y + 1이 똑같이 들어가 있죠 y + 1이 똑같이 들어가 있으니까 y + 1로 묶어주면 우리가 x - 2가 되는 겁니다 x-2 자 이런 식으로 우리가 어떤 한 문자를 가지고 한 문자에 대해서 x를 가지고 있는 애 x를 안 가지고 있는 애 묶어내서 최종적으로인수분해하는 요런 방법도 있어요

자 두 번째는요 이렇게 돼 있네요 x 제곱 마이너스 y 제곱 마이너스 6y-9 자 요런 거는 우리가 조금 찾아내기가 힘든데 어떻게 하냐면 뒤에 있는 거를 마이너스로 묶으면요 - y² + 6 y + 9예요 그럼 얘가 완전 제곱식으로 인수분해가 되죠 바로 y + 3의 제곱으로 인수분해가 됩니다 그러면 x 제곱 -y + 3의 제곱이니까 하나는 이제 x와 y + 3을 더해주고요 다른 하나는 x에서 y + 3을 빼서 - y -3이 됩니다 우리가 합차 공식이라고 하죠 그렇게 인수분해를 할 수가 있어요 자 마지막으로네 번째인데요 자 항이 5개 이상이거나 문자가 여러 개일 때 자 문자가 여러 개일 때 많이 사용을 하고요 차수가 낮은 문자에 대해서 내림차순으로 정리를 합니다 자 우리가요렇게 차수가 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리하는 거 매우 많구요 한번 보도록 할게요 x 제곱 2x와 exey 1이 있는데 여기에는 문자가 x도 있고 y도 있어요 x도 있고 i도 있는데 x는 지금 2차죠 y는 가장 높은게 1차예요 그러면 낮은 차수인 y에 관해서 내림차순으로 정리를 하는 겁니다 자 y를 가지고 있는 애들끼리 묶어주면요 exy랑 ey를 y로 묶어내서 ex+2의 y 제곱 자 남은 애들은 x 제곱 플러스 2x + 1이죠 자 얘가 근데 완전 제곱식이라서 x+1의 제곱으로 인수분해가 됩니다 그러면 ey의 x+1이구요 + x+1의 제곱은 x+1을 두 번 곱한 거죠 그러면 뭘로 묶어내는 거겠어요 x+1로 묶어내는 거죠자 x+1로 묶어내면 남은게 2y 그리고 x+1입니다 그래서 요거를 정리한게 요런식이 되는 겁니다 자 우리가 낮은 차수의 문자로 내림차순 정리하는 거 정말 많이 나오니까 꼭 기억해 주시고요 한번 우리 지금까지 배운 내용 한번 개념 예제 풀어보도록 할게요

자 첫 번째 식인수분해 할 건데요 자 x^3 y2x² y xy가 있네요 그러면 1번에서 지금 공통으로 들고 있는 거는 x y를 모든 항들이 가지고 있어요 그래서 xy로 묶어내면 x의 제곱 마이너스 8x + 6이라고 정리가 되죠 자 그러면 우리가 x제곱 마이너스 8x+6을 인수분해를 하려고 그러면 안 되죠 여기서 인수분해가 더 되지는 않습니다 이대로 인수분해를 끝내면 돼요 묶어 냈더니 더 이상인 수분해가 되지않아서 그대로 냅두면 되는 겁니다

자 두 번째는요 ex-4의 제곱 플러스 10의 2X - 3 + 16이라고 나와 있는데요 자 이런 경우에 지금 뭐가 공통으로 들어가 있어요 ex-3이 공통으로 들어가 있죠 그러면 우리는 2x - 3을 다른 문자로 치환을 하는 겁니다 요렇게 a라고 치환을 해서 식을 다시 쓰면요 a^2 + 10a + 16이 됩니다 자 그런데 얘는 8과 2의 곱으로 표현될 때 두 개를 더해서 10이 나오죠 그러면 a+8 a+2라고 인수분해가 되네요 자 a의 값은 우리가 2x - 3이라고 치환을 한 거기 때문에 다시 원래대로 돌려 놓으면요 EX - 3 + 8 여기는ex-3 + 2 그래서 계산을 해주면 ex+5 여기는 EX - 1 이렇게 최종적으로 인수분해가 됩니다 자 물론 여기 써 있는 식을 전개해서 정리하고 인수분해해도 돼요 하지만 우리가이 치환을 통해서 인수분해하는 방법도 알아둬야 됩니다 요게 훨씬 빠르고 편하기 때문에 우리가 요렇게 연습을 해주기 바랍니다 자 3번은요 제가 좀 여기다가 쓰도록 할게요 x 제곱 y - XY + x - 1이구요식이 조금 문자가 여러 개 있고 복잡해요 이런 경우엔 낮은 차수의 문자로 내림차순 정리하면 되고요 문자 X Y 중에 y 차수가 더 낮습니다 y로 묶어내주면 x제곱 마이너스 x + x-1이고요 자 x를 한 번 더 묶어내겠습니다 yx의 x-1 + X - 자 그럼뭐가 공통으로 묶어낼 수 있어요 x-1로 이제 묶어낼 수 있죠 그러면 x-1로 묶었을 때 XY 남고요 여기는 아무것도 안 남는게 아니라 +1이 남는 겁니다 자 이렇게까지 계산해 주면 되죠

자 마지막 4번 보도록 할 건데요 a의 제곱 마이너스 b² -8a + 16을 인수분해하는 건데 자 우리가 다른 문제에 비해서 조금 어렵습니다 조금 어려운데 자 우리가 여기서 뭘 봐야 되냐면 a 제곱하고 -8a하고이 +16을 가지고 우리가 a에 관한 어떤 완전 제곱식을 하나 만들어 낼 수가 있어요 자 이렇게 써볼게요 a의 제곱 마이너스 8a + 16 그리고 뒤에 마이너스 b²이죠 그러면 a - 4의 제곱으로 얘가 인수분해가 되고요 여기만 지금 인수분해가 되죠 뒤에 있는- b²까지 있는데 자 이때 제곱에서 제곱을 뺐으니까 우리는 이때 합차 공식을 사용해서 인수분해를 한번 또 할 수 있는 겁니다 제곱에서 제곱을 뺐으니까 하나는 빼주고 하나는 더해주고 자 그러면 조금 정리하면 우리가 a-b-4의 a+b-4로 정리가 되죠 자 우리 4번 조금 어려운데 이렇게 우리가 A 제곱과 -8a와 +16을 보고 인수분해를 할 수 있어야 된다는 점요 부분만 인수분해를 할 수가 있다는 점 우리가 요거 한번 눈도장을 찍고 갔으면 좋겠습니다 자 그러면 넘어가 보 도록 할게요 자 이번엔 인수분해를 이용한 수의 계산인데요 우리가 복잡한 수의 계산에서 곱셈 공식을 활용해서 조금 편하게 계산했듯이 인수분의 공식을 활용해서도 마찬가지로 조금 편하게 할 수가 있습니다

자 개념 예제 한번 바로 보면서어떤 경우인지 볼 거고요 자 29의 제곱 플러스 58 + 1이래요 자 얘를요 어떻게 할 거냐면 29를 x라고 놓으면요 우리가식이 어떻게 변형되냐 x의 제곱 + 2x + 1이죠 58이 29 곱하기 2이기 때문에 얘가 29 곱하기 2이기 때문에 우리가 ex라고 놓을 수가 있어요 그러면 x² + 2x + 1은 x+1의 제곱이고요 29를 대입해주면 30의 제곱이기 때문에 900이라고 계산할 수가 있습니다 자 두 번째는 자 27제곱 마이너스 26 제곱이면 뭘 써야 될 거 같아요 우리가 합차 공식을 써줘야죠 제곱에서 제곱을 뺐으니까 하나는 더해주고 하나는 빼주고 자 그랬을 때 27 - 26은 1이 되기 때문에 27 + 26만 계산해 주면 됩니다계산해주면 53이 나오네요 자 이렇게 답이 나오는 거 우리가 쉽게 계산할 수 있죠 자 넘어갈게요

자 우리가 복잡한 식의 인수분해 필수 예제 풀이 한번 해 볼 거고요 공통인 인수를 찾으라고 했네요 자 그러면 일단은 각각 인수분해를 해야 도대체 어떤 인수가 들어 있는지 알 수 있기 때문에 인수분해를 해서 공통이 민수를 찾아주도록 하겠습니다 자 x의 제곱 마이너스 XY + 2x - y + 1이고요 자 인수분해를 하려고 했더니이 문자가 여러 개고 식도 복잡해요 그래서 낮은 차수의 문자인 y로 우리가 내림차순 정리해 줄 거고요 y로 묶어내면 -x-1입니다 x 제곱 플러스 2x + 1이고요 - 밖으로 빼면 -y의 x+1이고 여기는 x+1의 제곱으로 인수분해가 되죠 자그러면 이번엔 x+1로 묶어낼 수가 있겠네요 요거로 묶어 낼 수가 있어요 여긴 두 개가 있으니까 하나만 여기 묶어내는 겁니다 그러면 남은 것들은 - y + x + 1이 되겠죠 여기 x+1이 하나 남아서 그대로 써 준 거예요 따라서 x+1의 X - Y + 1로 인수분해를 할 수 있고요 자 요거의 인수는 x+1이랑 x-y + 1입니다

자 두 번째 x y -x + y - 1을 인수분해할 거고요 우리가 지금 아까 했던 방법으로 인수분해를 하려고 그러면 차수가 똑같아요 x도 1차고 y도 1차죠 그런 경우에 아무거나 하나 잡아서 내림차순 정리해주면 됩니다 자 y 마이너스 1의 x고요 그리고 I -1이죠 그러면 이제 y 마이너스로 묶어낼 수 있겠네요 y-l로 묶어내면 x + 1이 됩니다그러면 여기에 들어가 있는 인수는 Y - 1과 x+1이죠 자 공통인 인수는 뭐예요 x+1이 공통인 인수입니다 따라서 답은 x+1이라고 써주면 되겠네요 자 넘어갈게요 자 이번엔 x+y의 값이 주어져 있고 x 마이너스 y의 값이 주어져 있습니다 그때요 값을 구하라고 했는데 만약에 여기서이 x+y랑 x-y 가지고 연립을 해서 x값을 구해주면요 2분의 마이너스 4 + 루트 2라는식이 나와요 복잡하죠 우리가 요거를 구해서 대입을 한다 그래도 계산은 가능하지만 복잡하기 때문에 요거는 그렇게 직접 계산해서 대입하는 문제가 아니고요 우리가 일단 구하라고 한 값을 인수분해 할 겁니다 요거를 인수분해할 거예요 자 x 제곱 마이너스 y² 그 자체를 인수분해해주면x-y x + y고요 뒤에 -2x+2y를 -1로 묶으면 x-y죠 자 그럼 뭐가 생겼어요 공통인 x-y가 생겼습니다 x-y로 묶어내면 x+y-2가 되는 거예요 그러면 우리가 x값 y 값을 각각 계산하지 않고도 x-y에는 루트 1을 집어넣고 x + y에는 - 4를 집어넣어서 계산을 해주면 되겠죠 따라서 - 6 루트 2라고 최종적인 답이 나오게 됩니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 인수분해 필수 예제 풀이까지 모두 마쳤구요 복잡한시기 인수분해라고 해서 좀 더 많은 종류의 인수분해를 오늘 배워 봤어요 우리가 인수분해 단원들은 학생들이 많이 어려워하고요 복습 정말 많이 하면서 우리가 할 수있는 걸 넘어서 익숙해져야 됩니다 항상 말하지만 우리가이 내용 가지고 2차방정식 2차 함수 다음 시간부터 이제 쭉 배우기 때문에 꼭 꼼꼼하게 복습하고 문제도 많이 풀어 보시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다