[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 이차방정식 - 인수분해를 이용한 풀이

자 오늘은요 인수분해를 이용한 풀이를 한번 보도록 할 건데요 인수분해를 이용해서 우리가 2차방정식 푸는 방법을 배우는 겁니다 자 인수분해를 이용해서 어떻게 2차 방정식을 푸느냐 일단은 그 원리부터 조금 이해를 하고 넘어갈게요

자 어떤 어떤 수 또는 식 a와 b를 곱했어요 a와 b를 곱했는데 만약에 ab가 0이래요 자 a와 b를 곱했는데 0이 나오면 우리는 이거를 어떻게 받아들일 수 있냐 a가 0이거나 b가 0이다라고 이해를 할 수가 있죠 우리가 곱해서 0이 나왔다는 것은 a와 B 둘 중 하나는 0이 되어야 곱해서 0이 나오니까 우리는 ab가 0일 때 뭐라고 쓸 수 있냐 바로 a는 0 또는b는 0이라고 쓸 수 있습니다 자 우리가이 내용을 바탕으로 인수분해를 해서 2차방정식의 해를 구할 건데 자 예를 들어서요 여기 지금 2차 방정식 ax 제곱 플러스 bx + c는 0에서 이거를 인수분해하여 1차식과 1차식이 곱이 0이 된다는 요식으로 정리를 한대요이 꼴로 변형을 한 다음에 우리가 1의 내용을 이용해서 2차 방정식을 푼다고 나와 있어요 자 우리가 인수분해라는 것은 이렇게 써 있는 이차방정식을 1차식과 1차식의 곱으로 나타낼 수 있는 거죠 이게 인수분해라고 배운 겁니다

자 그럼 만약에 인수분이라면 그 다음에 해는 어떻게 구하느냐 자 만약에 x 제곱 마이너스 3x + 2는 0이라는 요런 2차 방정식이 있었어요 자 이런 이차방정식이 있는데 요거를 인수분해를 하면요 x-1의 x-2로 인수분해가 되죠요 2가 1 곱하기 2구요-3이 나와야 되니까 -1과 -2의 곱이라고 하면 합이 -3이고 곱이기 때문에 우리가이 형태로 인수분해가 가능합니다 자 그러면 x-1과 x - 2를 곱해서 0이 나왔어요 그 말은 x-1이 0이거나 x-2가 0이거나 요렇게 둘 중 하나는 0이 되어야 된다는 소리겠죠 자 x-1이 0이면 우리는 x가 1이라고 할 수 있고 x-2가 0이라 그러면 x는 2라고 할 수 있어요 그러면이 방정식의 해는 우리가 x는 1 또는 x는 2다라고 할 수가 있는 겁니다

자 이렇게 우리가 이차방정식이 주어져 있을 때 인수분해를 해서 곱해서 0이 되면 둘 중 하나는 0이 되어야 되니까 이게 0 되는 경우에서 해가 하나 나오고 이게 0이 되는 거에서 해가 하나 나와서 우리가 해를 두 개 구할 수가 있는 겁니다 자 실제로 x는 1을x는 1을 x² - 3x + 2의 대입을 하면 1 - 3 + 2니까 0이 나오죠 자 그래서 우변 0과 같기 때문에 우리가 해인 것도 확인을 할 수가 있어요 자 그러면 우리가 지금까지 인수분해 정말 열심히 배웠잖아요 그거를 2차 방정식을 풀 때 인수분해를 적용을 시켜서 우리는 해를 구할 겁니다

자 그러면 한번 개념 예제를 풀면서 직접 2차 방정식의 해를 한번 구해 보도록 할게요 자 2차 방정식을 풀라고 했고요 1번을 지금 인수분해를 할 건데 x 제곱 마이너스 25는 0에서 자 x² - 25는 x의 제곱 마이너스 5의 제곱은 0이기 때문에 x+5 x-5로 인수분해가 됩니다 자 이렇게 인수분해가 되면 우리는 얘가 0이거나 얘가 0이거나 둘 중 하나는 0이어야 됩니다따라서 x+5는 0 또는 x - 5는 0이라고 하면 되겠죠 자 그러면 x 값은 -5 또는 x는 5가 됩니다 자 이렇게 근을 우리가 구할 수가 있어요 자 2번 보도록 할게요 x 제곱 마이너스 6x + 8은 0인데 자 요거를 인수분해를 해야 우리가 이제 2차 방정식을 풀 수 있는 거예요 자 곱해서 8 되고 합해서 -6이 되는 건 -2와 -4입니다 두 개를 더하면 -6이 나오고 곱하면 8이 나와요 따라서 인수분해를 x-2의 x-4는 0이라고 인수분해를 할 수 있고요 자 그러면 x-2가 0이거나 x - 4가 0이죠 x - 4가 0이어서 x값은 2 또는 x는 4라고구할 수가 있습니다 자 마지막 3번 한번 해 보도록 할게요 EX 제곱 마이너스 x - 3은 0인데 자 여기서 우리가 요걸 찾아 줘야겠죠 1과 2의 곱이고요 -3의 곱으로 우리가 이제 쓸 수 있는데 이렇게 곱하면 -3이고 이렇게 곱하면 2죠 두 개 더 있더니 -1이 나오네요 그러면 우리가 식을 이렇게 하나 만들고 이렇게 하나 만들어 주면 되겠죠 그러면 x+1과 2x - 3의 곱으로 표현이 되고요 우리가 곱해서 0 되는 건 얘가 0이거나 얘가 0이거나 둘 중 하나는 0이어야 됩니다 즉 x+1이 0이거나 2x - 3이 0이고요 여기서 x값은 - 또는 x값은 2분의 3 이렇게 구할 수가 있습니다 자 2차 방정식의 가장 기본적인 풀이는 우리가 이렇게 인수분해를 활용해서 2차 방정식의해를 구해주는 거예요 여기까지 됐죠

자 그러면 만약에 우리가 인수분해를 제대로 하지 못해요 그러면 우리가 2 차 방정식을 풀지 못합니다 그래서 아직도 설마 인수분해가 아직 제대로 안 된 학생이 있을 거라고 생각하지 않는데 인수분해가 아직 숙제가 덜 됐다면 앞에 가서 복습을 꼭 다시 하고 오셔야 돼요 자 그럼 일단 우리는 뒤로 가보도록 하겠습니다

자 이번엔 2차 방정식의 둥근 인데요 우리가 2차방정식의 중근이 뭔지 일단 좀 교재를 보도록 할게요 자 2차방정식에 두해가 중복될 때 이해를 주어진 이차방정식의 중근이라고 한대요 자 우리가 예를 들어서 x-1의 x-3이 0이라 그러면 우리는요 2차 방정식의 근을 x-1은 0 또는 x-3은 0에 의해서 x는 1 또는 x는 3이라고 구할 수가 있었습니다자 여기서 두해가 중복이 된다는 말은 무슨 말이냐면 요일 차식이 똑같은 거예요 x-1의 x-1은 0이어서 여기서는 x-1은 0 또는 x-1이 0이죠 자 그러면 x는 1 또는 x는 1인데 똑같은 결론이잖아요 그러면 결론적으로 그냥 x는 1이라는 해가 딱 하나 나오겠죠 이렇게 우리가 근이 중복이 돼서 하나가 되는 것을 우리는 중근이라고 합니다 요거를 중근이라고 해요 자 그러면 지금 1차식이 두 개가 똑같으니까 같은 근이 나온 건데 우리가 이거를 다른 식으로 표현하면 이렇게 표현할 수 있죠 x-1의 제곱은 0이다라고 자 그러면 이렇게 1차식이 두 개가 똑같아야 중근이 나오고요 1차식이 두개 있으면 x-1의 제곱처럼 어떤식이 되는 거예요 완전 제곱식이 되는 겁니다 즉 완전 제곱식에서 중근이 만들어져요

자 교재 좀 마저 볼게요 x² - 4x + 4는 0을 인수분해를 하면 x-2의 제곱은 0이라고 인수분해가 되고요 x-2의 x - 2가 0이니까 결론적으로 해는 x는 이익 또는 x는 2고요 해가 같으니까 해가 x는 2라고 하나만 남게 되는 겁니다 자 하나만 남게 되고요 이렇게 중복되어 근이 하나가 되는 것을 중근이라고 하는 겁니다 자 완전 제곱식으로 인수분해가 되니까 완전제곱식으로 인수분해가 되니까 해가 하나구요 그거를 우리가 중근이라고 한다요 내용 우리가 꼭 아셔야 됩니다 자 2차 방정식이 중근을 가지려면 자 x² + ax+b는 0이 중근을 가질려면이 조건을 만족을 시켜야됩니다 자이 조건이 왜냐면 자 예를 들어서 완전 제곱식 x+k의 제곱은 0이라고 할게요 요거를 전기를 시키면요 x의 제곱 플러스 2kx + K 제곱은 0인데 자 1차항의 계수가 2k이구요 상수항이 K 제곱일 때 우리는 완전 제곱식이라고 할 수가 있어요이 꼴을 만족을 시켜야 되는데 어떤 관계냐면 우리는 요거를요 반으로 나누고요 반으로 나누면 k죠 그리고 제곱을 합니다 자 1차항 계수의 반의 제곱이 상수항과 같을 때 우리는 완전 제곱식이다라고 할 수 있어요 그리고 그거를 중근을 갖는다라고도 할 수 있는 겁니다 자 그래서 여기에 있는 이차방정식에서 1차항의 계수 a를 반으로 나누면 2분의 a구요 2분의 a를 제곱한게 b가 돼야 됩니다즉 2분의 a를 제곱한 1/2의 제곱이 b와 같아야 완전 제곱식이 되는 거고요 중근을 간다이 말입니다 자 그래서요 조건까지 우리가 마무리했습니다

자 밑에 있는 개념 예제 한번 보도록 할게요 2차방정식 플라그랬구요 1번은 우리가 인수분해하면 어떻게 돼요 x 제곱 마이너스 2x + 1은 영어를 인수분해하면 x - 1의 제곱은 0이 됩니다 그러면 x는 1 요런 중근 딱 하나가 있는 겁니다 자 2번 자 4x 제곱 + 12x+9=0인데요 자 4x²은 2x의 제곱이고요 9는 3의 제곱이죠 그러면 2x와 3과 2x와 3과 2까지 곱하면 12x 나오죠 자 동일하게 나오네요 그러면 우리는 이걸 인수분해해서 2x+3의 제곱이라고 할 수가 있고요x값은 뭐 나오는 거예요 -2 딱 하나 나오는 겁니다 중근 같네요 자 넘어가겠습니다 자 2차 방정식의 해를 구하라고 했는데 우리가 지금 보면 2차 방정식이 아직 정리가 안 돼 있어요 자 이런 경우에는 모든 항을 좌변으로 넘겨서 정리를 해 줘야 됩니다

자 우리 두 번째 필수예제 보도록하겠습니다 자 2차방정식 EX 제곱 플러스 6x + k는 0이 중근 x는 알파를 가질 때 알파와 k의 합을 구하는 거구요 자 지금 주어진 방정식을 우리가 2로 나눠서 x 제곱의 계수를 1로 만들어 주겠습니다 x² + 3x+1/2는 0이라고 나오고요 자 우리가 둥근 가질 조건 앞에서 배웠었죠 x 계수의 절반 자 반으로 나눠주면 2분의 3이고요 이거를 제곱한게 2분의 k와 같아 줘야 되는 겁니다 그러면 2분의 3의 제곱이 2분의 k와 같으니까 4분의 9는 2분의 k고요 우리가 여기서 K 값을 2분의 9라고 찾을 수 있겠네요 자 그러면 주어진 2차 방정식은 x² + 3x + 4분의 9고요 우리가 요거를x 제곱 플러스 2 곱하기 2분의 3 x + 2분의 3의 제곱은 0이라고 볼 수가 있겠죠 그래서 x + 2분의 3의 제곱은 0이라고 인수분해가 되는 겁니다 자 우리 지금 여기 지금 반으로 나눴던 2분의 3이 여기 그대로 오는 거예요 이게 왜 그러냐면 x² + 2ax+a²은 0이라는 이차방정식을 인수분해하면 x+a의 제곱이 되죠 자 요거는 0이 됐는데 지금 여기 들어가는이 a가 x 계수의 절반이 들어오는 거죠