[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 이차방정식 - 근의 공식

자 오늘 학습할 단원은 근의 공식입니다 우리가 오늘 근의 공식도 배우지만 우리 지난 시간까지는 2차방정식을 인수분해해서 풀었어요 그런데 오늘은 뭘 배울 거냐 인수분해가 안 되는 이타방정식을 푸는 방법을 배워보도록 할 거예요 자 인수분해가 안 되는 걸 풀기 위해서 일단은 첫 번째 제곱근을 이용한 2차 방정식을 푸는 방법을 배워보도록 할게요 자 2차 방정식 x제곱은 q꼴은요 낮추는 0보다 크거나 같아야겠죠 지금 x 제곱은 좌변에서 0보다 크거나 같기 때문에 우변도 0보다 크거나 같은 수가 있어야 우리가 해를 구할 수가 있는 거예요 자 요런 2차 방정식이 있다면 우리가 요것도 2차 방정식입니다 어떤 이차항이 있기 때문에 얘는x는 q의 제곱근이죠 그래서 이렇게 써 있는 식을 우리는 x값을 어떻게 찾아낼 수가 있어요 x는 플러스 마이너스 루트 q라고 걔를 구할 수가 있습니다

자 예를 들어 무슨 말이냐 예를 들어서 x 제곱은 5예요 자 이것도 2차 방정식입니다 그러면 x는 5의 제곱근이니까 우리는 플러스 마이너스 루트 5라고 근을 구할 수가 있는 거예요 자 그러면 만약 조금 복잡한 형태인 x+p의 제곱이 q다라고식이 주어져 있어요 당연히 여기도 주는 0보다 크거나 같아야 되고요 자 이런 상황에서는 x가 아니라이 제곱 안에 들어가 있는 x+p라는식이이 X + p가 q의 제곱근이니까 우리는 요거를 어떻게 바꿀 수 있냐 x+p의 제곱은 q니까 x + p가플러스 마이너스 루트 q인 겁니다 그러면 하나는 요렇게 되는 거죠 x + p가 루트 큐 다른 하나는 x+b가 - 루트 큐 이렇게 되는 거예요 그러면 우리가 구하는 건 x 값이기 때문에 -p + 루트 큐 x는 - p - 루트 Q 이런 식으로 근을 구할 수가 있는 거예요 당연히 플러스 루트 Q - 루트 규니까 우리는 요거를 합쳐서 -p + - 루트 q라고도 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 조금 복잡하더라도 우리가이 제곱 안에 있는 숫자가 제곱 안에 있는식이 자 q의 제곱근이니까 이렇게 바뀔 수 있구나 요것만 우리가 확인을 해주면 될 거 같아요

자 그러면 이 내용 활용해서 개념 예제 한번 풀어보도록 할게요 자 1번 먼저 보면요 x 제곱 마이너스 12는 0이고요 x 제곱은 12니까 12의 제곱근인x는 플러스 마이너스 루트 12가 답이죠 자 그런데 우리가 루트를 조금 정리를 해서 2루트 3이라고 계산할 수가 있습니다 자 2번 보도록 하겠습니다 x-2의 제곱은 18이고요 지금 x-2라는 식을 제곱을 해서 18이 된 거예요 그러면 x-2는 플러스 마이너스 루트 18이 되겠죠 자 그러면 -1을 넘겨서이 플러스 마이너스 루트 18이라고 답을 구해주면 됩니다 자 이때 루트 18은요 우리가 어떻게 쓸 수 있어요 블라우스 마이너스 3루트 2라고 쓸 수가 있죠 이렇게까지 계산해 주면 됩니다

자 마지막 3번 볼 건데요 3번은 여기 밑에다 볼게요 자 EX - 1의 제곱은 7이 되겠네요 -7을 넘기면 그러면 2x - 1이라는식이 지금 7의 제곱근이니까 2X- 1을 플러스 마이너스 루트 7로 구할 수가 있어요 그러면 2x는 1 + - 루트 7이고 양변을 2로 나눠주면 x는 1/2 플러스 마이너스 루트 7이다 라고까지 계산할 수가 있습니다 자 우리가 여기까지 됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 완전제곱식을 이용한 2차방정식의 풀이를 볼 건데요 만약에 우리한테 ax² + bx + c는 0이라는 2차방정식이 주어져 있어요 그런데 최고차 한 개수는 일단 0이 아니겠죠 자 이렇게 2차 방정식이 주어져 있는데 인수분해가 안 돼요 자 인수분해가 안 될 때 우리가이 2차 방정식을 어떻게 풀어 줘야 되냐면 우리가 상수항을 우변으로 이양하고 좌변을 완전 제곱식으로 만들어 이차방정식을 풀 수 있다라고 되어 있어요 자 우리가 2차 방정식이 이렇게 주어져 있는데 인수분해가 안된다면 어떤 식으로 변형을 해줘야 되냐면 우리가 방금 배운 요런 형태로 변형을 시켜 줘야 됩니다이 제곱근을 이용한 2차 방정식의 풀이를 활용을 해줘야 되고요 우리가 여기서 문제를 풀 때는 지금 모두 완전제곱식으로 인수분해가 되어 있는 형태였어요 그러면 우리가 넘겨서 제곱근을 활용을 해서 근을 구할 수가 있었죠 그러면 우리는 ax² + bx + c는 0골이라는이 2차 방정식을 저렇게 완전 제곱식으로 변형하여 그늘 구할 수가 있습니다

자 밑에 내용을 보면서 우리가 밑에 내용을 보면서 한번 직접 해보도록 할게요 자 예를 들어 요런 요런 2차 방정식이 있다고 합시다 EX 제곱 플러스 8x + 2 = 0이라는 방정식이 있어요 자 얘는요 지금 인수분해가 안 됩니다 인수분해가 안 되고요 우리가요 방법을 따라가면서 한번 근을 구해 볼게요 일단은요 이차항의 계수로 양변을 나누어 이차항의 계수를 1로만든대요 자이 창의 계수를 1로 만들라 그러면 뭐로 나누는 거예요 양변을 2로 나누는 거죠 양변을 2로 나눠주면 x² + 4x+1은 0이 됩니다 자 그다음 상수항을 우변으로 이양해요 상수항 1을 우변으로 양을 해주면요 x² + 4x는 -1이 되죠 자 그 다음 3번이 중요합니다 지금 양변에 2분의 x의 계수의 제곱을 더한다 그랬어요 자 이거를 더한다 그랬는데 이거를 외도하는 거냐면 이거를 더해야 우리가 완전 제곱식으로 바꿀 수가 있는 거예요 자 볼게요 지금 x² + 4x인데 자 이거를 완전 제곱식으로 만들기 위해서는 어떤 상수항이 하나 필요합니다 근데 우리가 좌변에만 더 할 수 없으니까 우변에도 똑같이 더해 줄 거고요어떤 숫자를 더하냐면 우리가 x 계수의 절반 자 나누기 1을 하면 2죠 요거를 제곱을 합니다 자 x 계수 절반의 제곱을 더해주는 거예요 4를 더하는 거겠네요 자 요렇게 해서이 과정을 통해서우리가이 과정을 통해서 우리가 인수분해가 안 되는 2차 방정식의 근을 구할 수가 있습니다 자 조금 쉽지는 않은데요 우리가 완전 제곱식의 형태로 변형을 시켜 준다는 거 그거를 이제 항상 염두에 두고요 어떤 상수항이 필요해요 x 계수 절반의 제곱을 더해주는 겁니다 x 계수 절반의 제곱

자 그럼 한번 연습 한번 해보도록 할게요 자 완전 제곱식을 이용해서 풀라고 했구요 1번 먼저 보면 x 제곱 플러스 4x + 3은 0이에요 자 그러면 우리가 x 제곱의 개수가 지금 1이니까 그대로 냅두고 상수항만 이렇게 이양을 해줍니다 자 그 상태에서 완전 제곱식을 만들기 위한 상수항을 더해줘야 되고요 반으로 나누고 제곱을 해주면 +4 여기도 플러스다 그러면 x+2의 제곱이고요 여기는 1이 되죠자 그러면 제곱에서 1 되는 건 뭐예요 x+1을 지금 제곱해서 1이 됐는데 x+2는 그러면 1의 제곱근 + -1입니다 따라서 x는 -2 + -1이고요 자 이 경우는요 x값을 우리가 계산을 직접 할 수가 있어요 x는 -2라고 -3 이렇게 구할 수가 있죠 자 우리가 지금 앞에서 했던 것과는 다르게 앞에서는 지금 이렇게 루트가 나왔는데 여기는 깔끔하게 숫자로 나왔죠 자 우리가 요거는 사실 인수분해가 되는 2차 방정식이에요 자 인수분해가 되는 2차 방정식이지만 우리가 완전 제곱식으로 풀었다고 해서 잘못 푼게 아니기 때문에 올바르게 이렇게 정수인 해가 나오는 겁니다 자 여기까지 우리가 확인을 하면 좋을 것 같고요 2번을 한번 해보도록 할게요 이번에 x² + 6x+4는 0이고요x 제곱 플러스 6x = - 3입니다 자 상수항 뭘 더 해줘야 될까요 반으로 나누고 제곱해주고 그럼 플러스쿨을 여기도 더해주는 거죠 자 그러면 좌변은 x+3의 제곱으로 우리가 정리가 되고요 우변은 플러스 5가 되겠네요 자 x+3은요 제곱에서 5가 되는 수니까 플러스 마이너스 루트 5구요 x값은 - 3 + - 루트 5라고 정리가 됩니다

자 여기까지 됐나요 자 이번엔 3번 해보도록 할게요 ex의 제곱 마이너스 6x+3은 0인데 자 양면은 2로 나눕니다 x제곱 마이너스 3x + 2분의 3은 0이 되고요 자 상수항을 똑같이 넘겨 줄 거예요 x 제곱 마이너스 3x는 - 2분의 3 그럼 양변에 뭘 더해줘야 돼요 똑같이 절반의 제곱 마이너스 2분의 3의 제곱 / 9를 더해줍니다 4분의 9를 더해주는 거고요 자 얘가 그러면 뭐의 제곱이냐 우리가 요거 조금 헷갈릴 수 있는데 우리 요거를 넣어 주는 겁니다 요거를 넣어주면 돼요 x-2분의 3의 제곱으로 계산을 해주면 됩니다 아니면 우리가 요거 x²이죠 요거는 2분의 3의 제곱이니까 우리가 그거를 가지고 인수분해해 줘도 좋습니다

자 이번엔 근의 공식을 이용한 이터 방정식의 풀이를 보도록 할 건데요 2차방정식 ax 제곱 플러스 bx + c는 0의 해를 완전 제곱식을 이용하여 풀이하면 다음과 같이 얻을 수 있대요 자 여기 지금 이렇게 공식이 나와 있는데 우리가이 공식을 적용하면 2차 방정식의 근을 바로 구할 수가 있습니다 자 그거는 우리가 적용시키는 거는 조금 있다가 개념예회에서 개념 예제에서 해보기로 하고요 일단은 어떻게 나왔는지 한번 볼게요 자 이게 지금 완전 제곱식을 이용하여 풀이하면 우리가 얻어낼 수 있다 그랬어요 우리가 이거를 활용해서 문제에서내는 경우가 있기 때문에이 공식 한번 얻어내는 과정을 한번 보여 드리도록 할게요 자 ax² + bx + c는 0이 있으면요 양변을 a로 나눕니다 x² + a분의 bx + a분의 c는 0으로 정리가 되고요 우리가 x 제곱 플러스 a분의 bx는 놔두고상수항을 우변으로 이항을 해줘요 자 그다음 어떤 상수항이 필요해요 요거 절반의 제곱이 필요합니다 절반 이분의 b구요 제곱해주면 4a 제곱 분의 b 제곱이죠 자 여기다도 4 대부분의 b²을 더해 줘야 돼요 그러면 좌변은 x+1/2 제곱이라고 안전제곱식으로 변형이 되고요 우변을 4a 제곱으로 통분을 해주면 우리가 b제곱 - 4ac라고 얻어낼 수가 있습니다 자 그러면 지금 x+2a를 제곱을 해서 요게 나왔으니까 x + 2a는요 x + 2a는 우리가 루트 플러스 마이너스 루트 4a² - 4ac라고 얻어낼 수가 있어요 그럼 얘는분모가 2a의 제곱이기 때문에 요렇게 바꿔 낼 수가 있죠 [음악] 그렇기 때문에 이제 곧 마이너스4ac는 0보다 크거나 같다라는 조건이 있어야 되고요

자 1번 2번 3번 한번 풀어 볼게요 1번 먼저 좀 여기다가 풀어보도록 하겠습니다 x² + 10x-7은 0인데 x가 빠졌네요 cx-7은 0 자 a는 1이고 b는 10이고 c는 - 7입니다 자 이걸 가지고 근의 공식의 대입을 해주면요 x는 2A -b + - 루트 b² -4 곱하기 1 곱하기 -7이죠 그러면 2분의 - C + - 루트 100 + 28이고요 128이네요 자 128인데이 128이 우리가 4로 나누면 4 곱하기 32구역 4 곱하기 32고 32가 또4 곱하기 8이고 얘가 4 곱하기 2죠 그럼 얘가 지금이 몇 제곱이에요 2의 7 제곱입니다 그러면 우리가 요거를 이렇게 바꿔낼 수가 있어요 -10 플러스 마이너스 8루트 2 나누기 2라고 계산할 수 있고요 분모를 분모에 지금 2로 분자를 2로 나눠주면 -5 + - 4 루트 2라고 우리가 근을 구할 수가 있습니다 자 우리가이 근의 공식을 통해서 지금 근을 구해봤는데 우리가 공식을 당연히 암기해야 되고요 암기해야 되고 당연히 적용시키는 연습도 충분히 해 줘야 됩니다 우리가 인수분해가 되거나 근의 공식을 쓰면 무조건 근을 구할 수 있어요 자 2번 3번도 우리가 쭉 한번 해보도록 할게요 자 2번은요 3x² + 4x-1은 0인데 자 a는 3이고b는 4고 c는 -1입니다 그러면 x는 2a분의 자 6분의 -b-4 + - 루트 b^2 16 -4 곱하기 3 곱하기 -1이구요 어 그러면 + 12가 되네요 따라서 마이너스 4 플러스 마이너스 루트 28 / 6이 됩니다 자 루트 28은 2루트 7이니까요 우리가 3분의 -2 + - 루트 7이라고 최종적으로 글을 구할 수가 있습니다

자 3번 볼 거구요 a는 5고 b는 -2고 c는 -1입니다 이거를 근의 공식에 대입 보여주면 되겠죠이 a분의 자 2a는 10입니다 -b + - 루트 b의 제곱 자 -2 제곱하면 4구요- 4 곱하기 a 곱하기 c로 계산을 해주면 됩니다 그러면이 플러스 마이너스 루트 여기가 24로 계산이 돼요 자 그러면 우리가 요거는이 플러스 마이너스 2 루트 6 나누기 10이라고 쓸 수 있겠죠 자 24는 6 곱하기 4니까 4를 밖으로 빼서 2루트 6이라고 쓴 겁니다 자 분모 분자를 2로 나눠주면요 1 + - 루트 6 / 5가 최종적인 답이 되겠죠 자 여기까지 됐죠 자 넘어가서 우리가 필수 예제 풀어보고 이번 시간 마치도록 하겠습니다 자 2차 방정식 ax 제곱 마이너스 4x-2는 0의 해가 이렇게 나온대요 3분의이 플러스 마이너스 루트 b라고 자 유리수 ab의 값을 구하는 문제고요 자 우리가 지금 주어진 2차 방정식의 해를 인수분해로는 구하지 못해요x 제곱의 계수가 a라고 나와 있기 때문에 우리가 직접 인수분해를 하지 못하고요 근의 공식을 한번 써보겠습니다 자 근의 공식을 쓰면이 a분의 -b + - 루트 b² 16이죠 - 4 a c입니다 자 그러면 요거를 정리하면 4 플러스 마이너스 루트 16 + 8이구요 분모는 2a죠 자 근데이 근이 결국은 얘랑 똑같아야죠 자 똑같아야 되는데 지금 보면 지금 뭐가 달라요 자 여기는 4가 있는데 여기는 2가 있죠 자 이거를 똑같이 맞춰 줘야 됩니다 똑같이 맞추려면 어떻게 해줘야 돼요 분모 분자의 2를 곱해주면 되겠죠 숫자가 변하면 안 되니까 우리가 분모 분자의 2를 곱해서 이렇게 표현을 할 수가 있습니다 자 그러고우리가 루트도 이렇게 다 숫자를 루트 안으로 집어 넣겠습니다 4b가 나오고요 자 그럼 이제 하나씩 비교를 하는 거예요 분모가 2적 자 여기 분모가 6입니다 그래서 2a는 6이라는 거 우리가 알 수 있고요 루트 안에 16+8이인데 여기는 4b죠 그러면 16+8a랑 4b도 같아줘야 됩니다 자 여기서 우리가 a는 3이라고 구할 수 있고요 a가 3인 걸 대입하면 24고 더해주면 4b는 40입니다 따라서 b는 10이니까 우리는이 문제의 답을 a는 3 b는 10이라고 구해줄 수가 있겠네요

자 여기까지 해서 우리가 근의 공식 필수 예제 풀이까지 모두 맞췄고요 자 근의 공식을 여러분이 일단이 수업이 끝나자마자 외우셔야 돼요 공식을 외우고 공식을 외운 채로 적용시키는 연습을 하는 겁니다 적용시켜 가면서 외우겠다 그런생각으로 우리가 문제를 풀면 안 돼요 자 우리가 꼭 외우고 많이 풀고 그네 공식 해직일 때까지 익숙해질 때까지 복습 꼭 하시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 할게요 고생 많으셨고요 감사합니다