[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 이차방정식 - 이차방정식의 근의 개수

자 오늘 배울 내용은 2차방정식 구하기입니다 자 2차 방정식 구하기가 우리가 어떤 걸 배우는 거냐 일단은요 우리가 2차 방정식이 주어져 있으면 거기서 근거하는 거를 앞에서 열심히 배웠어요 자 그런데 오늘 배울 건이 근이 주어져 있을 때이 근이 도대체 어떤 2차 방정식에서 온 것이냐 그래서 근이 주어졌을 때 2차 방정식 구하는 걸 배워 볼 거예요

자 두 근이 알파와 베타라고 주어져 있고 x 제곱의 계수가 a면요 우리가요 2차 방정식을 어떻게 구할 수 있냐 자 그늘 알파로 가지면요 우리가 알파를 근으로 갖기 위해서 뭐가 있어야 돼요 x - 알파라는 1차식이 있어야 됩니다 자 베타를 근으로 갖기 위해서는x - 베타라는 1차식이 필요해요 그러면 우리가 구하고 싶은이 2차 방정식은요 x - 알파가 있어야 되고 x - 베타가 있어야 됩니다 거기에다가 우리 x²의 계수는요 만약에 여기가 3이에요 저기가 3이면 어차피 요거의 근은 알파 베타죠 자 3이 아니라 만약에 10이에요 12여도 2차 방정식의 알파베타죠 자 그래서 우리가요 x 제곱의 계수인요 자리는 우리가 어떤 근을 바꾸지는 않아요 그렇기 때문에 우리가 뭐든 여기에 숫자가 어떤 숫자든 들어올 수 있고요 만약에 우리가 주어진 상황에서이 x²의 계수를 정해줬다 그러면 그 정해진 숫자를 쓰면 되고요 우리가 따로 구해줘야 된다 그러면 문자 하나를 넣어서 이렇게 a라고 써주면 됩니다

자 그래서 우리가 x 제곱의 계수가 a고 근이 알파베타인 2차방정식은요렇게 쓸 수 있다 자 그리고 요거를 전개를 하면 x의 제곱 마이너스 알파플러스 베타의 x + 알파 베타로 전개가 되죠 그래서 이거를 전개한 식도 요렇게 같이 써 있습니다 자 만약에 이번엔 중근을 가져요 일단은 알파를 갖기 위해서는 x - 알파가 필요합니다 x - 알파가 필요한데 중등 갖는다는 것은 근이 중복돼서 알파만 생기는 거죠 그렇기 때문에요 방정식은 x - 알파의 제곱이다라고 써 줘야 됩니다 자 x 제곱의 계수가 a니까 x 제곱의 계수가 a가 되도록 이렇게 앞에 a까지 달아주면 이렇게 중간 알파를 갖는 2차 방정식을 우리가 식으로 쓸 수가 있습니다 자 밑에 개념 예제 한번 보도록 할 건데 자 다음 조건을 만족시키는 x에대한 2차방정식을 ax bx + c는 0의 꼴로 나타내시오라고 되어 있습니다 자 1번을 먼저 보면요 두근이 2하고 -3이니까 우리가 어떻게 쓸 수 있어요 x-2 x+3이라고 쓰는 겁니다 자 주의해야 될 점은 뭐예요 그는 2로 갔는데 근을 2로 갖는다고 x+2가 아니에요 근을 2로 갖는 건 x-2가 필요한 겁니다 x-2가 필요한 거예요 그래야 얘가 0이 될 때 x는 2라는 근이 나오니까 우리가 여기 -를 붙여서 달아주는 겁니다 자 여기서도 똑같이 적용된 거죠

자 그러면 x²의 계수가 2라고도 주어져 있으니까 요거까지 이렇게 방정식 써주면 되고요요 방정식을 전개를 하면 x의 제곱 플러스 x - 6이고요 ex 되고 + 2x - 12 = 0이라고계산을 할 수가 있습니다 자 2번은 제가 좀 위쪽에다가 쓰도록 할게요 자 두 근이 1하고 -1이고요 x 제곱의 계수가 3이라 그랬습니다 그러면 자 근을 1근으로 갖기 위해서는 뭐가 필요하다고요 x-1이 필요하다고요 -1을 근으로 갖기 위해서는 x+1이 필요합니다 자 x²의 계수가 3이라고 했으니까 3을 앞에 달아주면 되고요 요런 방정식을 우리가 전기만 해주면 답을 구할 수 있겠네요 밤에 x제곱 마이너스 1로 전개가 돼서 4x 되고 마이너스 3은 0이라고 정리가 됩니다 자 마지막 3번이고요 자 이번엔 중근 5를 갔네요 자 중국 5를 가는 거는 어떻게 써 줘야 돼요 우리가 x-5의 제곱이라고 써 줘야 되죠 중근 5를 갚기 위해서는 x-5가 필요하고 중복되는 거니까 제곱을 달아 줘야 된다 자 이렇게 써 주는 거고요x 제곱의 개수가 3이라고 했으니까 3의 x-5의 제곱은 0이다라는 방정식을 전개해 주면 되겠네요 자 계산해주면요 3x² - 30x + 75는 0이다라고 정리가 됩니다

자 여기까지 됐죠 그럼 넘어가 보도록 하겠습니다 자 계수가 유리수인 2차 방정식의 근인데요 만약에 2차방정식 ax² + bx + c는 0에서 계수 abc가 만약에 유리수예요 유리수고 근 하나가 어떤 p+q√m 꼴로 주어져 있어요 루트가 들어간 꼴로 주어져 있어요 그러면 우리가 근의 공식에서 2A 분의 - b + - 루트 b제곱 마이너스 4ac에서 abc가 유리수라면 얘도 유리수고 얘도 유리수면 루트가 어디 밖에 없어요 여기밖에 없죠 자 그런데 루트가 여기밖에 없는데루트 앞에는 지금 뭐가 붙어 있어요 플러스 마이너스가 붙어 있죠 자 플러스 마이너스가 붙어 있으니까 얘가 근이면 다른 한글은 루트 앞에 보호를 바꾼 c-q√m이 근이 되는 겁니다 자 언제만 성립한다고요 abc가 유리수인 경우에만 성립을 합니다 우리가 근의 공식 앞에 근의 공식에서 루트 앞에 + -가 붙어 있기 때문에 한 근이 p+q√m이면 다른 한 근은 루트 앞에 부호를 바꿔준 p-q√a입니다 우리가 이네요 알아둬야 되고요 자 개념 예제 한번 바로 해 볼게요 자 다음에 수가 2차방정식 ax² + bx + c는 0의 근인데 abc가 지금 유리수라 그랬어요 자 그래놓고 다른 한국은 구하라고 했으면 자 어떻게 해주면 돼요 3+루트 2가 그리면 다른 한 근은 3 - 루트 2가 근이고요 자 2분의 5-루트 7이 근이면다른 한 근은 2분의 5 + 루트 7이 근이죠 우리가 루트 앞에 보호만 바꿔주면 다른 한 근을 구할 수가 있는 겁니다

자 여기까지 됐죠 자 넘어가 보도록 할게요 자 우리 필수 예제 풀어보도록 할 건데요 2차방정식 x² + ax+b는 0의 두 근이 4하고 마이너스 7일 때 상수 ab의 값에 각각 구하는 문제고요 자 두근은 4랑 7이면 우리가 뭐 요거를 대입해서 대입해서 a 값 b값을 구해줘도 되는데 그거보다는 우리가 그거보다는 근사를 갖기 위해서는 x-4를 가지고 있어야 되고요 -7을 근으로 갚기 위해서는 x+7을 가지고 있어야 됩니다 그래서 주어진 이틀 방정식은이 인수들을 가지고 있어야 되고 지금 최고차 한 개수가 1위에요 그러면 앞에다가 그냥 1을 곱해주면 되겠죠 이거는0 이게 바로 우리가 찾고 싶은 2차 방정식입니다 자 전개해주면요 x 제곱 플러스 3x-28은 0이다라고 구할 수가 있고요 A 값은 3이에요 a값은 3이고 b값은 -28 이렇게 a값 b값 구할 수가 있습니다 자 우리 필수 예제 하나 덮을 건데요 자이 차방정식 x 제곱 플러스 ax+b는 0을 푸는데 자 수화기는 x의 계수를 잘못 보고 풀었대요 자 수화기는 뭐를 잘못 봤다고요 ax의 계수를 잘못 본 거예요 그러면 제가 2차 방정식 뭐를 보고 풀었다고 생각을 할 거냐면 a 프라임 x+b는 0이라는 2차 방정식을 보고 풀었다고 생각을 할게요 왜냐하면 x의 계수를 잘못 봤다는 것은 우리는 어떻게 해석을 해야 되냐 상수항은 올바르게 본 거예요상수항은 올바르게 본 거기 때문에 요거는 그대로 냅두는 겁니다 자 그리고 대왕이는 대왕인은 상수항을 잘못 보고 풀었대요 그러면 저는 x² + ax+b 프라임은 0이라는 방정식을 보고 풀었다고 생각을 할 겁니다 자 프라임을 달아준 건요 우리가 그냥 어떤 새로운 문자고요 그냥 a자리에 잘못 본 새로운 문자라서 그냥 프라임 달아서 a 프라임이라고 이렇게 표현을 해준 겁니다 얘는 아예 다른 문자예요 자 어쨌든 요렇게 구했구요 대왕인은 그러면 뭐를 제대로 본 거예요 우리가 1차항의 기술을 제대로 본 거죠

자 그래서 수화기는 어떤 근을 얻었냐면 2랑 4를 얻었대요 대왕인은 -1과 -5를 근으로 얻었대요 처음 방정식의 해를 구하는 문제인데요 자 2랑 4를 근으로 가지고 x²의 계수가 1인 2차 방정식을 만들어주면x-2의 x - 4는 0이죠 2를 근으로 갖기 위해선 x - 2가 있어야 되니까 자 전개해주면 x 제곱 마이너스 6x + 8은 0이고요 우리가 여기서는 뭐만 따져 주면 되냐 상수항만 찾아주면 됩니다 상수항을 제대로 봤으니까 상수항을 구해주는 거예요 자 대왕인은 자 -1과 -5를 근으로 구했으니까 이거를 가지고 방정식을 만들어주면 x+1의 x+5는 0이고요 전개를 해주면 x 제곱 플러스 6x + 5죠 자 근데 대왕인은 지금 뭐를 제대로 봤어요 얘는 1차항의 기술을 제대로 맞죠 상수항을 잘못 봤으니까 1차항의 기술을 제대로 본 것이고 1차항의 계수 a는 6이다라고 구할 수가 있습니다 자 따라서 우리가 처음 방정식 x 제곱 플러스 6x + 8은0이라고 되어 있는게 올바른 방정식이고요 우리는 요거에 그늘 구해주면 됩니다 자 x+2의 x + 4는 0이라고 인수분해가 되고요 우리가 x값은 -2 또는 x는 -4라고 2차 방정식의 근을 구할 수가 있습니다

자 여기까지 해서 우리 2차 방정식 구하는 내용이 있는데 우리 사실 별 내용 없는 거 같이 보이지만 요게 정말 중요한 내용입니다 우리가 어떤 근을 가지고 방정식을 거꾸로 찾아준다는 거 우리가 정말 사용하기에 따라서 유용하게 쓰일 수 있으니까 우리 개념들 그리고 예제들 꼭 꼼꼼하게 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다