[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 이차함수 - 이차함수 y=ax²의 그래프

자 오늘 배울 내용은 이차함수 y는 ax 제곱의 그래프입니다 자 우리가이 와이는 ax 제곱이라는 그래프를 오늘 그려보고 어떤 특징들이 있나 알아볼 거예요

자 2차 함수의 가장 기본적인 형태고요 우선 y는 x제곱이라는 그래프를 먼저 그려 보도록 할게요 자 오른쪽에 그래프가 그려져 있긴 하지만 한번 밑에다가 새로 그리면서 그래프가 어떻게 그려지는지 같이 좀 확인을 한번 해보도록 할게요 자 이렇게 x축 y축이 있고요 제가 점을 좀 얇게 찍도록 할게요 x에다가 1을 대입하면요 자 우리는 지금 y=x^2이라는 그래프를 그리고 있는 겁니다 x에다가 1을 대입하면 y 값이 1 나오죠 즉 1을 지나요 여기쯤 여기쯤 점이있겠네요 1 자 x에다가 2를 대입을 하면요 y 값이 몇 나와요 제곱을 하니까 4가 나오죠 즉 2를 지납니다 자 2라고 하면 x좌표가 2라 그러면 여기쯤 우리 1만큼 증가한 거죠 여기서 1만큼 왔으면 똑같은만큼 왔어요 그런데 y 좌표는 지금 얼마나 커졌어요 4로 커졌어요 자 매우 많이 커졌습니다 자 이번엔 x에다가 3을 대입할 거예요 그러면 y 값은 몇이 나와요 누가 나오죠 자 x 값은 똑같이 1이 증가했는데 y 값은 무려 9가 됐습니다 그러면 여기쯤 좌표가 찍히겠네요 자 그러면이 점들을 부드럽게 이어주면 어떤 그래프가 나오냐 요렇게 생긴 그래프가 나옵니다 이렇게 자 지금 x에다 1 2 3을 대입을 했었어요 이번엔 x에다가 -1을 집어넣어볼게요 자 -1을집어넣으면 우리가 지금 x제곱의 집어 넣는 거기 때문에 y 좌표가 1이 나와요 즉 -1이구요 우리가 요점에 좌표랑 비교를 했을 때 y 값이 같아요 즉 좌표가 어디에 찍히냐요 위치에 찍힙니다요 위치 -1일 때 1 자 x에다가 -2를 집어넣으면 어떻게 돼요 y는 -2의 제곱이니까 4가 나오죠 즉 2를 대입했을 때랑 똑같은 y 값이 나와요 2 -2 왜냐면 x 제곱이기 때문에 부호가 제곱을 하면 무조건 양수로 나와서 y 값이 똑같이 나오는 겁니다 그래서 여기쯤에 점이 찍히겠죠 자 그러면 우리가요 왼쪽에서도 그래프를 쭉 그려주면 이런 그래프가 그려집니다 자 이런 그래프가 그려지고요 우리가 요거를 y는 x제곱의 그래프다라고 기억을 하시면 돼요

자 어떤 특징들이있느냐 첫 번째 자 0을 지납니다 자 0을 지나는 건 x에다 0을 대입했을 때 y 값이 0 나오는 걸로 우리가 확인을 할 수 있고요 우리가 이렇게 그래프가 지금 어떻게 생겼어요 이렇게 쭉 내려왔다가 올라가면서 어떤 모양이라 그러냐면 아래로 볼록한 곡선이다라고 표현을 해요 아래로 볼록한 곡선이라고 말합니다 자 그리고요 아까 말했다시피 x좌표에다가 2를 넣나 -2를 넣나 y 값이 똑같이 나와요 그렇기 때문에 우리가 그래프가 어떤 형태를 띠고 있냐면 y축에 대하여 대칭인 형태를 띠고 있어요 자 y축 여기 있죠 이거에 대해서 대칭인 형태를 띠고 있는 거예요 x값에다가 부호를 다른 것 부호가 다른 x값을 집어넣었을 때는 y 값이 항상 같은게 나오기 때문에 이렇게 y축에 대하여 대칭인 형태가 나옵니다 여기 길이가 같아지는 거예요 자 x가0보다 작을 때 즉 여기 x축 왼쪽을 의미하는 거구요 여기서 엑셀 값이 증가하면 Y 값은 감소합니다 자 함수 그래프가 어떻게 되고 있어요 x 값이 증가할 때는 y 값이 쭉 내려오죠 x값이 증가할 때 y 값이 쭉 내려오는 것으로 우리가 감소한다고 해요

자 반대로요 x가 양수인 부분에서는요 부분에서는 x의 값이 증가하며 x 값이만큼 증가하면 Y 값이 어떻게 돼요 이만큼 올라가죠 이만큼 가면 이만큼 올라갑니다 이렇게 x 값이 증가하면 Y 값도 증가한다 그래요 이렇게 우리가요 상태를 증가한다라고 하는 거예요 자 그리고요 이 x 제곱의 그래프는요 x축과 x축 위쪽에만 존재합니다 x 제곱의 값이 0이거나 양수로만 나오기 때문에 우리가 함수 그래프가이 x축과 x축위쪽에만 존재하게 되는 거예요 자 y 좌표가 항상 양수로 나오죠 x²의 값이 양수니까 얘가 항상 양수로 나와요 양수거나 0이거나 그래서 0인 경우에는 x축이고요 양수인 경우는 x축 위쪽이니까 그 영역에만 그래프가 이렇게 존재하는 겁니다 자 y는 -x²의 그래프는 y는 x²의 그래프와 x축에 대하여 서로 대칭이다라고 되어 있는데 자 요거는 오른쪽에 있는 그림을 좀 볼게요 자 제가 x 제곱에다가 어떤 x값 3을 집어넣어서 y 값 9를 얻어내면 3 콤마 9라는 점을 요렇게 찍겠죠 그런데 -x²이면 우리가 같은 x 값을 넣었을 때 - X 제곱이니까 Y 좌표의 부호가 바뀌는 겁니다 여기가 9고 여기가 3이에요 그럼 -x 제곱은 3을 넣었을 때 -9가 나오니까 이렇게 x축 아래에서여기 점이 찍힙니다

자 그래서 우리가 모든 점들에 대해서 위에 찍혔던 점들이 아래 찍히게 되니까 그래프가 x축에 대하여 대칭인 이런 그래프로 우리가 마이너스 x 제곱 그래프를 그릴 수가 있는 거예요 자 우리가 오늘 2차 함수 처음 배우고 있는데 우리가 상당히 생소하고 어려워요 2차 함수는 그렇기 때문에 우리 강의 듣다가 이해 안 가는 부분이 있으면 다시 돌려서 듣고 다시 돌려서 듣고 내용 다 이해하면서 다음으로 넘어가야 돼요

자 그러면 저는 일단 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 2차 함수 y는 ax²의 그래프고요 우리가 아까 그렸던 건 x 제곱의 그래프예요 자 ax²의 그래프는 일단 a가 양수일 때만 고려를 해볼게요 ax²의 그래프는 y = x 제곱의 그래프 위에 각 점에 대하여 각 점에 대하여y좌표를 a에 한 거래요 자 그럼 봐봐요 여기 무슨 말이냐 y는 x²이 있었어요 원래 x에다가 2를 집어넣으면 y는 2의 제곱이었죠 자 그런데 만약에 우리가 이번에 y는 y는 2x 제곱의 그래프를 그릴 건데 2x 제곱의 그래프에다가 x의 2를 집어넣으면 y 값을 어떻게 계산해요 우리가 아까 계산한 2의 제곱의 값에다가 그대로 2를 곱하죠 자 그러면 같은 x 값을 넣었을 때 y 값을 어떻게 계산한다고요 원래 그렸던 x제곱의 그래프에다가요 앞에 붙어 있는 숫자만큼 또 곱해준다고요 그러니까 모든 y좌표에 대해 2배를 해주는 겁니다 두 배를 그래서 그래프가 어떻게 되냐면 자 x 제곱의 그래프가 지금 이렇게 그려져 있는데 이렇게 그려져 있어요 지금 자 이렇게 그래서 있는데EX 제곱의 그래프를 그리기 위해서는 x 제곱에서 그렸던이 y좌표에다가 두 배를 해주는 겁니다 자 이거의 두 배만큼 y 좌표를 찍어주는 거예요 이렇게 길이가 같겠죠 두 배니까 여기가 1이면 여기는 두 배를 했기 때문에 여기는 두 배를 했기 때문에 2 곱하기 1인 2가 됩니다 자 그래서 여전뿐만 아니라 여기 있는 점뿐만 아니라 여기에 있는 x좌표에 대해서도 우리가이 y좌표의 두 배를 한 위치에이 점을 찍어주는 겁니다 자 그래서 y는 EX 제곱은 이렇게 생긴 그래프가 그려지는 거예요 자 지금은 a가 양수인 것만 그렸어요 a가 양수인 것만 그렸는데 자 이번에는 y = - ax 제곱의 그래프를 그릴 거예요 자 이번엔 앞에가 마이너스 a기 때문에 지금 x² 앞에 붙은 어떤 숫자의 부호가 음수입니다음수라서 어떻게 그렸어요 아까 x 제곱을 이렇게 그렸으면 자 이번엔 우리가이 ax²의 그래프 마저 몇 가지 성질 볼 건데요 이렇게 y = ax 제곱의 그래프로 그래프로 그려지는 모양을 우리는 포물선이라고 합니다 포물선 자 이 그래프의 모양을 포물선이라고 하는 거예요 자 이 포물선에서 몇 가지 용어가 있어요이 포물선은요 일단은 선대칭 도형입니다 자 가운데 있는이선을 기준으로이 모양 포물선이 대칭이에요 자 대칭이기 때문에 이렇게 우리가이 대칭이 되는 선을 우리가 축이라고 합니다 축이라고 하고요이 축에 수직인 선분을 그었을 때 이렇게 2차 함수 포물선과 만나는 점이 있겠죠 그러면 대칭인 도형이라서요 길이와요 길이가 같습니다

자 축에 대해 대칭이라는 거 우리가 2차 함수에서 정말 많이 사용할 거고요 중요한 내용이니까 꼭 일단은 기억을 해주세요 뒤에 분명히 우리가 내용을 다시 배울 거니까요 내용 꼭 기억해 주시고요 자 여기 끝에이 축과이 포물선이 만나는 점이 하나가 있어요 자이 점을 기준으로 그래프가 내려왔다가 올라가죠이 점을 뭐라 그러냐 바로 꼭짓점이라고 합니다 꼭짓점 자 이거를 꼭짓점이라고 하는 거예요 우리가 축과 꼭짓점 2차 함수에서 정말중요하니까 우리가 꼭 기억해 주시기 바랍니다 자 4번 볼게요 y는 ax²의 그래프의 성질은 다음과 같다라고 되어 있어요 자 하나씩 보도록 할게요 자 일단은 원점 0을 꼭짓점으로 하는 포물선입니다 자 x에다 0 넣으면 y에다 0 넣으니까 0 나오니까 우리가 0 지나는 거 확인할 수 있죠 0 지난다는 거 자 두 번째 y축을 축으로 합니다 자이 말은 뭐예요 우리가 쉽게 말하면 y축 대칭이라는 거죠 우리요 2차 함수 y는 ax²의 그래프는 y축 대칭입니다 자 그리고 우리가이 y축을 식으로 표현하면 x는 0이라고 쓸 수 있죠 그래서이 축이 축을요 방정식으로 나타내면 우리가 x는 0이다라고 표현을 할 수가 있는 거예요 y축을 축으로 하고요 그거를 식으로 나타내면x는 0이다 자 이렇게 식으로 나타낸 걸 우리가 축의 방정식이라고 합니다 자 우리 여기 오른쪽 그림에서 y는 2x 제곱을 가지고 조금 다시 설명을 해 볼게요 이렇게 y는 2x²이 있고요 자 지금 축이 뭐예요 축이 지금요 y축이죠 자 이 y축에 대해 대칭이구요 우리가이 y축을 식으로 표현하면 뭐라고요 x는 0이다라고 표현을 할 수가 있습니다 자 3번 보도록 할게요 a가 양수면 자 y는 ax²에서 x 제곱의 계수가 양수면 우리가 그래프를 어떻게 그려요 요렇게 아래로 볼록하다고 하죠 아래로 볼록하게 그래프가 그려지고요 반대로 a가 음수면 우리가 y는 2x²에서 x축 대칭을 시키면 -2x²이라는 그래프를 얻어낼 수가 있다 그랬어요 자 그 그래프가 지금 요렇게빨간색 그래프로 그려져 있는데 자 이렇게 x²의 계수가 음수일 때는 음수일 때는 우리가 뭐라고 표현하냐 위로 볼록하다라고 표현을 할 수가 있어요 자 4번 자 4번은요 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다라고 되어 있어요 자 일단 그래프의 폭이 어디를 말하는 거냐면 여기서부터 요기까지를 말하는 겁니다 자 여기를 포기라고 해요요 길이 요거를 포기라고 하는데 a 값이 크면 우리가 y 값이 더 커지니까 이렇게 안쪽으로 모이게 되죠 그러면 지금 2x 제곱 같은 경우는 a 값이 2고요 x 제곱 같은 경우는 a가 1이고 2분의 1 x 제곱 같은 경우는 a가 1/2입니다 자 a 값이 커지면 커질수록 a 값이 커지면 커질수록 그래프가 어디에 가까워져요 자이 y축에 조금가까워지죠 자 우리가 이걸 어떻게 표현한다고요 그래프의 폭이 좁아진다라고 표현을 하는 거예요

자 a가 음수인 경우도 볼게요요 -2x 제곱은 a가 -2구요 요거는 a가 -1이고 요거는 - 1/2이에요 자 절대 값으로 보면요 절대값은 2고 1이고 2분의 1입니다 자 절댓값이 커지고 있죠 절댓값이 커졌더니 어떻게 되고 있어요 그래프가 y축에 가까워지고 있고요 그래프가 y축에 가까워지는 것을 우리는 보기 좁아진다라고 표현한다 그랬어요 자 마지막으로 y는 -ax²의 그래프는 우리가 x축에 대하여 대칭인 꼴로 그려지는 거 우리가 알 수 있죠 자 우리가 EX 제곱 그래프가 만약에 이렇게 그려졌으면 -2x 제곱은 우리 ex제곱의 마이너스만 달아준 거니까 y 좌표의 부호가 바뀌어서 그래프가 x축 대칭이 되도록 그려지는겁니다 자 여기까지 해서 우리가요 내용 했구요 우리이 내용들 우리 하나하나 정말 완벽하게 알고 있어야 되는 내용이니까 복습할 때 우리 하나씩 다시 그래프를 보면서이 가면서 완벽히 알고 넘어가도록 하세요 자 그러면 일단 뒤에 넘어가서 개념 예제 한번 보도록 하겠습니다 자 y는 ex제곱의 그래프에서 꼭짓점에 좌표 두개 방정식 x축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내는 2차 함수의 식 이렇게 구하라고 했고요 자 y는 ex²의 그래프를요 간단하게 그려주도록 하겠습니다 요런 형태로 그래프를 그릴 수가 있고요 첫 번째 꼭짓점의 좌표 꼭짓점은 어디를 말하는 거예요 요점 말하는 겁니다요 점요 점을 우리가 꼭짓점이라고 하고요 꼭짓점이 좌표 몇 콤마 몇이에요 0이죠 자 이번엔 축의 방정식을 볼 거고요 우리가 축의 방정식은 대칭인 축을 나타내는 식을 구하라는 말이고요우리가 축이 지금요 y축입니다 이거에 대해 대칭이죠 자 우리 이 y축을 식으로 표현하면 x는 0이다라고 표현을 할 수가 있다 그랬어요 그래서 두 개 방정식 x는 0이고요 자 x축에 대하여 대칭인 그래프는 이렇게 그려지는 그래프고요 우리가 여기 있던 y는 2x 제곱의 그래프에서 모든 y좌표의 부호가 바뀌었으니까 y는 -2x²이다라고 구할 수가 있어요 따라서 x축에 대하여 대칭인 그래프는 y는 -2x 제곱입니다 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요

자 마지막으로 필수 예제 풀이고요 우리가 뭘 구하는 거냐면 그래프가 위로 볼록하면서 포기 가장 넓은 것을 구하라 그랬어요 자 그러면요 일단은 y는 ax²에서요 그래프가 위로 볼록하려면 이렇게생겨야 되고요 이렇게 생긴 건 a 값의 부호가 음수인 것이죠 자 a 값의 보호가 음수인 것이고요 폭이 가장 넓은 것은 뭐예요 a의 절댓값이 가장 작은 걸 고르라는 거죠 a의 절댓값이 가장 작은 것을 고르라는 겁니다 자 일단은 a가 음수인 것을 골라주면 요거랑 요거랑 요거 이렇게 세 개가 있습니다 밑에 있는 두 개는 아래로 볼록한 그래프예요 자 그 중에 폭이 가장 넓은 것은 x²의 계수의 절댓값이 가장 작은 걸 골라 줘야 되고요 자 절대값이 지금 3하고 2하고 4분의 1입니다이 중에 가장 작은 건 4분의 1이죠

자 여기까지 해서요 우리가 2차 함수 y는 ax²의 그래프에 대해 배워 봤고요 우리가 오늘 배웠던이 내용들 여기서 배웠던 내용들 우리 하나하나 정말 중요한내용들이니까 여기 꼼꼼하게 복습하고 우리가 완벽하게 내용 이해하고 다음 강의 들으셔야 돼요 다음 시간에는 조금 더 어려운 내용을 배우게 되니까 복습 꼭 하시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨구요 감사합니다