[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 이차함수 - 이차함수의 그래프의 평행이동

자 오늘 배울 내용은 2차 함수 그래프의 평행이동입니다 자 우리가 지난 시간에 와인은 ax² 꼴의 2차 함수 그래프를 배웠어요 자 오늘은 그거를 가지고 우리가 요렇게 생긴 이차함수와 이렇게 생긴 이차함수와 이렇게 생긴 이차함수를 배워보도록 할 건데요 자 일단은 하나씩 좀 보도록 할게요

자 첫 번째로 y는 ax² + q의 그래프고요 자 교재를 먼저 보도록 하겠습니다 자 2차 함수 y는 ax² + q의 그래프는 y는 ax 제곱의 그래프를 y 축의 방향으로 q만큼 평행 이동한 것이다라고 적혀 있어요 자 y축키 방향으로 q만큼 병행 이동시켰대요 자 이게 무슨 말인지 좀 볼게요 자 일단은 우리가이 y는 ax 제곱의 그래프를 이렇게 이제 그릴 수 있죠꼭짓점이 원점이고 이렇게 생긴 그래프의 그릴 수가 있는데 자 예를 들어서요 좌표를 하나 찾는다고 하면 x는 1에서의 좌표가 궁금하면 x에다가 1을 대입하면 되죠 자 x에다가 1을 대입하면 y는 a 곱하기 1의 제곱이니까 a라고 계산이 됩니다 자 그런데 우리는 ax 제곱 플러스 q에서 x는 1에서의 좌표가 궁금해요 그러면 여기 써 있는요 함수식에다가 x는 1을 대입하면 되죠 자 똑같이 x는 대입하면요 y는 a 곱하기 1의 제곱 플러스 q입니다 즉 a+q예요 자 함수식이요 지금 어떤 차이가 있어요 ax 제곱과 ax² +q는 d의 + q가 달려 있다는 요런 차이가 있습니다 그렇기 때문에 우리가 함숫값 즉 y 값을 계산할 때도 뒤에 + q가 더해지게끔 계산이 돼요 기존의x에다 대입한 부분은 똑같죠 ax²이 똑같이 들어있기 때문에 지금 x에다가 1을 넣나 2를 넣나 100을 넣나 ax 제곱의 부분은 값이 똑같이 나오고요 거기에다 뭐만 달라요이 플러스 q를 더한만큼만 다른 겁니다 그래서 x는 1에서의 점이 만약에 여기라면 ax 제곱 플러스 q에서 x는 1에서의 좌표는 여기에 있는 좌표에다가 y 좌표의 q만큼 더한 요런 좌표가 되는 거예요 그런데 그게 이전 뿐만이 아니라 모든 점에서 적용이 되는 거죠이 점도 이렇게 그만큼 더해서요 점이 찍히고요 여기에 있는 점도 여기에 있는 점도 이만큼 올려서 여기에 있는 점이 찍힙니다 자 그래서 모든 점들이 q만큼 올라간 형태로 그래프가 그려지기 때문에 이런 그래프가 나오는 거예요 자 그러면 우리가 이거를 점을 점을 옮겼다는 표현이 아니라그래프에 있는 점들이 모두 옮겨졌으니까 아 ax 제곱 플러스 q는 ax² +q는 ax 제곱의 그래프를 y축으로 q만큼 병행이 이동시킨 거구나라고 우리가 생각을 할 수 있습니다

자 그 내용이 바로이 교재에 나와 있는 첫 번째 내용이고요 자 지금 점을 q만큼 평행 이동시켜서 위로 그린 형태를 우리가 예시로 들어서 풀어 봤는데 지금은 q가 양수일 때입니다 a가 양수고 q가 양수일 때만 이런 그림이 그려지는 거예요 만약에 추가 음수라면 만약에 큐가 음수라면 우리가 이거를 아래로 내리기 때문에 모든 함수값들을 q만큼 아래로 내리기 때문에 이렇게 생긴 그래프가 그려집니다 아래로 내리는 거예요

자 예를 들어서 제가 만약에 y는 2x²이라는 그래프를 이렇게 그렸어요 이렇게 그릴 수 있죠 그러면EX 제곱 플러스 1의 그래프는요 y는 2x² + 1의 그래프는 모든 점들을 한 칸씩 위로 올린 거고요 이런 그래프의 형태가 나옵니다 자 반대로 y는 2x 제곱 마이너스 1의 그래프를 그린다고 하면요 지금 1씩 빼는 겁니다 일식 빼서 모든 점들을 아래로 한 칸씩 내려주면 한 칸씩 내려주면 이런 그래프가 나오는 거예요 여기까지 됐죠 자 그러면 이렇게 ax² +q라는 것은 y 축 방향으로 q만큼 평행 이동을 시킨 것인데 주께 방정식이 변하나요 자 투기 방정식은 x는 0인데 두개 방정식은 변하지 않습니다 자 여기 그대로 있는 거예요 y축 평행 이동했다고 추계방정식이 변하진 않아요 자 꼭짓점의 좌표는요 우리가 ax 제곱 꼴에서는 0이라고 배웠습니다 자 0이라고 배웠는데요거를 q만큼 평행 이동을 시켰기 때문에 좌표가 뭐가 되는 거예요 0 q로 우리가 변하는 겁니다 자 이렇게 ax² + 축 꼴의 그래프 여기까지 받고요 이번엔 개념 예제 한번 보도록 하겠습니다 자 2차 함수 y는 1/2의 x 제곱의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행 이동한 그래프를 나타내는 식과 꼭짓점의 좌표와 추계방정식을 구하라고 했는데요 자 y는 1/2 x 제곱의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행 이동을 시키니까 -3을 달아주면 되겠죠 요게 바로 평행 이동된 시기구역 자 꼭짓점의 좌표는 어떻게 변해요 기존의 0이었는데 y 축의 방향으로 -3만큼 평행 이동을 시키니까 0 - 3이 되는 겁니다 자 y 축으로 이동한만큼 변하는 거예요 자 이번엔 추기 방정식이고요 자 축의방정식은 변하지 않는다 그랬습니다 저음과 똑같이 x는 0이 축의 방정식이에요 자 여기까지 됐죠 자 그럼 두 번째 보도록 할게요

자 이번엔 y는 a의 x - p의 제곱의 그래프인데요 자 우리가 요게 조금 헷갈릴 수 있어요 자 볼게요 만약에 y는 ax²이라는 그래프가 이렇게 주어져 있어요 우리는 이걸 어떻게 할 거냐면 x축으로 x 축으로 p만큼 평행 이동을 시켰다고 생각을 해봅시다 자 여기도 마찬가지로 일단은 a가 양수고 p가 양수인 것만 좀 고려를 할게요 자 x축으로 p만큼 옮기는데 자 우리는 원래 꼭짓점이 몇 콤마 몇이었어요 원래 꼭짓점이 0이었습니다 0이었고 그래프가 y는 ax² 꼴이었죠 그런데 0이라는 꼭짓점을 x축으로 p만큼 옮기면새로운 꼭짓점이 몇 콤마 몇이 되는 거예요 0이었던 걸 x축으로 p만큼 옮기니까 p 콤마 0이 되는 겁니다 자 그러면 우리가이 p 콤마 0이 꼭짓점인데이 p를 집어넣었을 때 x의 p를 집어넣었을 때 y 값이 뭐가 나와야 돼요 0이 나와야 되죠 자 그런데 우리가 제곱근에서 0이 나오는 거는 그 제곱 안의 수가 0이 될 때 딱 한 번밖에 없습니다 자 그런데 p를 넣어서 0이 나와야 돼요 자 그러면이 제곱 안에 제곱 안에 들어있는 x가 어떻게 바뀌냐 p를 넣어서 0이 되게끔 바뀌는 겁니다 즉 y는 a의 x-p의 제곱으로 바뀌어요 자 뭐가 헷갈리냐면 우리 앞에서 y축으로 평행 이동했던 건 함숫값이 그만큼 증가했기 때문에 q를 그대로 뒤에 더해주면 됐어요 하지만 x축으로 평행 이동하는 것은 우리가 x 자리에 어떤 걸 되는 거예요x 다리에 x축으로 p만큼 평행 이동하면 x-p를 넣는 겁니다 자 요거 부를 우리가 항상 잘 고려를 해 주셔야 돼요 자 x-p의 제곱이 x축으로 p만큼 평행 이동했다는 거 꼭 기억해 주시고요 자 평행 이동된 그래프는 이렇게 그려지겠죠 얘도 마찬가지로 모든 점들이 이렇게 x축의 방향으로 p만큼 평행 이동된 그래프가 그려집니다 자 그러면 우리가 투기방정식이 원래는 y축이었어요 x는 0이라는 y축이었는데 x축으로 평행 이동을 하면 시계방정식이 여기로 바뀌죠 자 이렇게 옮겨집니다 자 이렇게 옮겨지고요 우리가이 직선을 식으로 어떻게 표현할 수 있어요 x는 p라고 표현을 할 수가 있죠 우리가 요만큼 왔으니까요 점의 좌표가 p고요 그게 바로 축의 방정식이 되는 겁니다 좌측의 방정식이x는 p로 바뀌어요 자 꼭짓점은 원래 영 콤마 0이었는데 몇 콤마 몇으로 갔어요 p0으로 가는 겁니다 꼭짓점은 p 콤마 0이다 자 여기서 제일 헷갈린 건 뭐라고요 ax² 골을 평행 이동하면 a의 x-p의 제곱이 된다 이거 꼭 기억해 주시기 바랍니다

자 밑에 개념 예제 한번 보도록 할게요 자 2차 함수 y는 3의 x-2의 제곱의 그래프를 그리고 꼭짓점에 좌표와 축의 방정식을 구하라고 했네요 자 그러면 저는 뭘 먼저 그릴 거냐면 y는 3x 제곱의 그래프를 좀 먼저 그려 놓도록 하겠습니다 3x²의 그래프를 이렇게 그릴 수 있고요 꼭짓점이 우리 원점이 있도록 좀 다시 잘 그려줄게요 이렇게 자 그랬을 때 얘를 지금 어떻게 옮긴 거예요 지금 3x 제곱의 그래프가 3의 x 마이너스 2의 제곱이 됐어요 자 이 제곱 안의 수가0이 되는 x 값이 뭐예요 x값이 2죠 즉 x 축으로 이만큼 평행 이동을 시킨 겁니다 자 그런 식으로 찾아주면 돼요 그래서요 점이 x축으로 이만큼 평행 이동을 해서요 점으로 옮겨지고요 이런 그래프가 그려집니다 자 이런 그래프가 그려지고요 축의 방정식은 뭐예요 추계방정식은 우리가 요렇게 여기로 바뀌었죠 여기로 맡겼습니다 여기는 두 개 방정식 x는 이고요 두 개 방정식 x는이 자 꼭짓점은 몇 콤마 몇으로 갔을까요 꼭짓점을 기존의 0이었는데 x축으로 이만큼 갔으니까 꼭짓점은 2 0이 되는 겁니다

자 여기까지 됐나요 자 그럼 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 y는 a의 x-p^2 + q의 그래프인데요 우리가 앞에서 배운 그 두 가지의 그래프형태를 합쳐 놓은 겁니다 자 얘는요 y는 ax 제곱의 그래프를 x 축의 방향으로 p만큼 y축의 방향으로 q만큼 평행 이동한 그래프예요 자 그러면 우리가 그래프로 보면 그림으로 보면 원래 이렇게 생겼던 그래프가 x축으로 p만큼 가고 y축으로 q만큼 가서 요런 빨간색 그래프가 되는 거죠 자 그러면 시계방정식이 어떻게 됐어요 추계방정식은 원래는 y축 즉 x는 0이었는데 x축으로 p만큼 갔으니까 이렇게 된 x는 p라는 축의 방정식으로 옮겨졌습니다 자 두 개 방정식 이렇게 바뀌었구요 꼭짓점은 원래 원점 0이었는데 그게 x축으로 p만큼 y축으로 q만큼 갔으니까 새로운 꼭짓점은B 콤마 되는 겁니다 자 따라서 우리가 요렇게 꼭짓점 B 콤마 q를 가지는 2차 함수 그래프의 식을 y는 a의 x-p^2 +q라고 쓸 수 있고요 이러한 형태를 우리가 뭐라고 부르냐면 이차함수의 표준형이라고 부릅니다 자 표준형이라고 부르는 거예요 자 우리가 제일 중요한 건 2차 함수에서 제일 중요한 건 꼭짓점입니다 우리가 어떤 함수가 주어져 있을 때 딱 보고서 아이 그래프는 꼭짓점이 몇 콤마 몇이다라고 바로 찾을 수가 있어야 돼요 자 꼭짓점 어떻게 찾는다고요 x좌표는 여기 안에 들어가 있는 x-p를 0으로 만드는 x값 즉 b가 되는 거고요 y좌표는 뒤에 붙어 있는요 상수 +q를 꼭짓점에 y 좌표로 적어주면 됩니다 자 꼭짓점 찾는 거 정말 중요하고요 우리 계속 보면서 느꼈겠 지만 꼭지점에 x좌표가꼭짓점의 x좌표가 바로 투기방정식이 되는 겁니다 꼭짓점의 x좌표와 투게 방정식에서 가르치는 숫자가 똑같아요 꼭짓점의 x좌표가 p라면 두 개 방정식은 x는 p라는 거 그거까지 꼭 같이 기억해 주시기 바랍니다

자 개념 예제 보면요 그래프를 x 축의 방향으로 -2만큼 y축의 방향으로 선만큼 평행 이동을 시킨대요 자 그러면 x축 방향으로 -2만큼 가는 건요 x 자리에 x+2를 집어넣을 거예요 왜 x+2가 될까요 x -2니까 x+2가 되는 겁니다 자 그래서 x축 방향으로 평행 이동을 시켜주면 3a x+2의 제곱이라고 그래프를 쓸 수가 있고요 이번엔 y축의 방향으로 3만큼 평행 이동을 시키니까 뒤에 + 3을 달아주면 됩니다 자 이게우리가 찾아야 되는 그래프의 식이고요 꼭지점에 좌표 몇 콤마 몇이에요 원래 0이었는데 x축으로 -2만큼 갔으니까 꼭짓점에 y 축의 방향으로 점만큼 갔으니까 꼭짓점의 y 좌표는 3입니다 자 마지막으로 축의 방정식은 두 개 방정식은 뭐예요 꼭짓점의 x 좌표에 적혀있는 숫자와 같다 그랬습니다 x는 -2 이렇게 축의 방정식까지 찾아낼 수가 있겠죠

자 그러면 우리가 오늘 이제 필수 예제에 한번 풀어보도록 할 건데요 자 이차함수 y는 a의 x-b의 제곱의 그래프가 직선 x는 3을 축으로 하고요 점 -2를 구하는 건데 자 우리 축은이 x는 3이라는 축은요 뭐랑 같다고요 꼭짓점에 꼭짓점의 x좌표가 나타내는 숫자가 같습니다 꼭짓점의 x좌표가 나타내는 숫자와같아요 그래서 우리요 a의 x-p의 제곱 꼴은요 꼭짓점의 좌표가 p 콤마 0이기 때문에 우리는 p가 뭐라는 걸 구할 수 있는 거예요 여기 3이라는 거를 알 수가 있는 겁니다 따라서 y는 a의 X - 3의 제곱이고요 자이 함수가 점 -2 3을 지난다고 했으니까 우리가 지나는 점은 항상 대입해서 계산해 준다는 거 꼭 기억해 두시기 바랍니다 자 테이블에서 a 값을 계산할 수가 있어요 대입을 해주면요 25a는 25a는 3이다라고 나오고요 a 값이 25분의 3으로 계산이 되네요 따라서 우리가 찾는 2차 함수식은요 y는 25분의 x-3의 제곱이고요 우리가 찾는 a+b값은요 A 값은 25분의 3이고 p값은 3이니까 두 개를 더해주면되겠네요 자 그러면 우리가 25분에 78이라고 답을 낼 수가 있죠 자 이렇게 답 써 주시면 됩니다

자 넘어가 보도록 할게요 자 마지막 필수 예제구요 y는 -2x 제곱의 그래프를 자 평행 이동했더니 이런 그림과 같대요 자 근데 그래프를 봤더니 지금 꼭짓점을 우리한테 주고 있는 겁니다 자 꼭짓점이 지금 몇 콤마 몇이에요 2 콤마 7이죠 자 그러면 우리는 y는 -2x 제곱이 평행 이동을 해서 꼭짓점이 마 7이 되도록 옮겨 줄 거예요 자 원래 꼭짓점의 좌표 몇 콤마 몇이었어요 원래 0이었죠 자 x축으로 얼마나 갔어요 x축으로 이만큼 같죠 y축으로 얼마 나갔어요 7만큼 갔어요 그러면요 함수를 이렇게 쓸 수있겠네요 -2에 x 다리에는 x 마이너스 2를 넣어주고요 y축으로 평행 이동한만큼 더해주면 되죠 자 이렇게 그래프 식을 구해줄 수가 있습니다 자이 꼴로 나타내라고 했으니까 우리가 요렇게 답을 써 주시면 되고요 요렇게 생각을 해줘도 돼요 자 꼭짓점이 2 콤마 7인 꼭짓점이 2차 함수식은요 우리가 이렇게 쓸 수 있습니다 y는 a의 x-2의 제곱 + 7이라고 바로 쓸 수가 있죠 2 7이 꼭짓점이 되도록 자 이때 우리는 지금 -2x²이라는 이차함수로 옮긴 거기 때문에 그래프의 모양이 바뀌면 안 돼서 x 제곱의 계수가 동일하게 써줘야 됩니다 그래서 a 값이 -2구요 우리가 답을 요렇게 매도도 더 좋겠죠

자 여기까지 해서요 우리가 2차 함수에 관한 내용 모두 배워 봤고요 2차 함수 이제 또 다음 시간에 기본형에 대해서 배우게 됩니다 기본형을 배울 때도 우리가 오늘배운이 표준형이라는 내용을 활용을 하기 때문에 오늘 배운이 2차 함수의 표준형에 관한 내용 꼭 복습 꼼꼼하게 하시고요 평행 이동할 때에 x좌표 Y 좌표 어떻게 변하는지 x좌표와 y 좌표의 꼭짓점은 또 어떻게 변하는지 수계방정식은 어떻게 변하는지 모두 꼼꼼하게 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 할 거고요 고생 많으셨고요 복습 꼭 하시기 바랍니다 감사합니다