[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 이차함수 - 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프

수학대왕 [음악] 자 우리가 오늘 배울 내용은 2차 함수 와인은 ax² + bx + c의 그래프입니다 자 우리가 지난 시간에 뭘 배웠냐면 와인은 ax 제곱이라는 2차 함수를 평행 이동을 통해서 y는 a의 x-p^2 + q로 옮겨진다는 것을 배웠고요 자 이렇게 옮겨진 이차함수의 꼭짓점이 꼭짓점이 p 콤마 q라는 것을 알고 있습니다 자 그런데 예를 들어서 y는 x+2의 제곱 플러스 3이라고 써 있으면 우리가 쉽게 꼭짓점이 -2라는 것을 찾아낼 수가 있는데 만약에 시간 이렇게 안 두고 이게 전개된x² + 4x+7로 2차 함수를 준다면 우리가 이것만 가지고는 이것만 가지고는 꼭짓점을 찾아내지 못해요 우리가 이렇게 2차 함수가 주어져 있다면 원래대로 우리가 꼭짓점을 볼 수 있는 형태로 바꿔줘야 우리가 꼭짓점을 찾고 그래프를 그릴 수가 있는 겁니다 자 그래서 우리가 먼저 배울 건 여기서 먼저 배울 거는 이렇게 주어진 이차함수를 꼭짓점을 찾아낼 수 있는 형태로 변형하는 방법을 배워보도록 할 거예요 자 교재를 보면 2차 함수 y는 ax² + bx + c 그래프는 이차함수식을 y=a의 x 마이너스 p의 제곱 플러스 q꼴로 고쳐서 그린다라고 되어 있어요 자 그래서 이거를 변형하면 어떻게 되냐 이런식이 나옵니다 자식이 좀 복잡하죠 자 a값 b 값이 값을 대입해서 우리가 이런 식으로 변형을 할 수가 있기는 한데 자 일단은 변형하는 걸 한번 보도록 할게요 우리가 요거는수행평가로도 자주 나오는 내용이니까 한번 요거를 변형하는 걸 해 볼게요 자 일단은요 y=ax² + bx + c구요 우리가 여기에 있는 ax²과 bx를 가지고 이렇게 제곱을 만들 겁니다요 제곱을 만들 거예요 자 제곱을 만들 건데 일단은 x²의 수인 a로 묶어주면 x 제곱 플러스 a분의 b의 x죠 자 괄호 닫고 플러스 c인데 우리가 완전 제곱식을 만들기 위해서는 어떤 상수항이 필요합니다 자 어떤 상수항이 필요한데 그 상수항은 어떻게 찾아요 자 요거를 항상 기억을 해 줘야 돼요 우리 앞에서도 했습니다 X 계수의 절반 즉 2A 분의 b를요 제곱을 해서 나오죠 4a 제곱 분의 b²입니다 자 그런데 우리가 맘대로 더하면 안 되니까 다시 뺍니다 자 이제괄호 닫고 + 자 그러면 우리가요 마이너스 4의 제곱 분의 b 제곱은 괄호 밖으로 보내 줄 거고요 밖으로 보내주면 - 4a B 제곱이 됩니다 자 요거는 지워 줄게요 그러면 요렇게 정리가 되죠 자 그러면 지금요 부분요 부분은 우리가 완전 제곱식으로 변형이 되고요 완전 제곱식 a에 x+2a 제곱이 됩니다 자 뒤에 있는 거는 우리가 마이너스를 쓰고 4a로 통분을 해주면 b^2 - 4ac라고 정리가 돼요 자 그러면 이렇게 써 있을 때 우리가 요식을 복원은 꼭짓점을 못 찾았지만 이렇게 된 식에서는 꼭짓점을 찾아 줄 수가 있죠 자 꼭짓점을 찾아 줄 수가 있고요 그 꼭짓점은-2분의 B 콤마 - 4의 b² - 4a 있습니다 자 우리가 이렇게 공식을 활용해서 꼭짓점의 좌표를 찾아낼 수가 있습니다 자 추계 방정식도 우리 꼭짓점에 x좌표하고 똑같으니까 -2분의 b라고 우리가 찾을 수 있고요 자 y축과의 교점은 x 값이 0일 때의 좌표니까 x에다가 0을 대입하면 우리가 뒤에 c만 남는 거 알 수 있죠 따라서 0 콤마 c로 나옵니다 자 우리가 이렇게 공식을 활용해서 완전 제곱식으로 변형을 해줄 수 있지만 사실은 그 방법보다는 그냥 식 자체를 변형해서 완전 제곱식으로 만들어주는 연습을 하는게 더 좋습니다이 방법은요 방법대로 알고 있고요이 밑에 있는 개념 예제 한번 보면서 제가 말하는 다른 방법이 뭔지 해보도록 하겠습니다 자 1번을요 여기다가 풀어볼 건데 y는 x^2 + 4x - 3입니다 자 그러면 우리는x² + 4x를 가지고 완전 제곱식을 만드는 거고요 자 상수항 뭐가 필요해요 자 상수항은 어떻게 찾냐 요사를 반으로 나누고 제곱을 해주는 겁니다 플러스 4 그리고 다시 마이너스 4 원래 있던 마이너스 3 그러면 우리가 얘가 뭐의 제곱이 되냐요 4를 반으로 나눴던 2를 활용을 하는 겁니다 x+2의 제곱 자 그리고 요게 -7이 되겠죠 x+2의 제곱 마이너스 7 자 그러면 우리가 이렇게 변형이 됐을 때는 꼭짓점의 좌표를 찾아낼 수가 있죠 -2 -7입니다 자 밤의 제곱을 더해주는 거고요 우리가 맘대로 더하면 안 되니까 다시 빼는 겁니다 그래서 완전 제곱식 만들어 주고 꼭짓점 구해주면 되겠죠 자 우리가이 ax² + bx + c를 가지고 변형을 한 것과 같은 과정인데 공식을활용하는 것보다는 우리가 이렇게 직접 변형을 통해서 해주는게 좀 더 좋습니다 자 2번 한번 해 볼게요 자 조금 좁으니까 제가 이쪽 위에 공간을 좀 활용하도록 할게요 자 y는 ex의 제곱 마이너스 6x+1인데요 자 x²의 계수로 먼저 묶습니다 2로 묶으면요 x^2 - 3x고요 괄호 닫고 +1입니다 자 우리가 필요한 상수항은요 절반으로 나눈 -2분의 3을 다시 제곱을 하면 + 4분의 9죠 자 그러면 4분의 9를 더했으니까 다시 4분의 9를 빼줍니다 자 그리고 괄호 닫고 플러스 1 자 요거는요 2의 x^2 - 3x + 4분의 9 그리고 여기 있는이 마이너스 4분의 9를 2랑 곱해서 밖으로 빼요 마이너스 2분의 9죠 자 뒤에 +1이 있었습니다그러면 얘가 2의 x-2분의 3의 제곱 그리고 -2분의 7로 정리가 되니까 꼭짓점에 좌표 2분의 3 콤마 -2분의 7로 우리가 계산할 수가 있습니다 자 우리 이번에 3번 한번 보도록 할 건데요 3번은 여기다가 불도록 할게요 자 y는 -x 제곱 플러스 x고요 자 마이너스로 묶었을 때 x의 제곱 마이너스 x입니다 자 그러면 상수와 뭐 필요해요 절반의 제곱이니까 절반 마이너스 2분의 1이고 제곱하면 + 4분의 1이죠 자 4분의 1 다시 빼주고요 우리가 마이너스 4분의 1은 바깥으로 보내 줘야 됩니다 마이너스 x 제곱 마이너스 x + 4분의 1 + 4분의 1이고요 - x - 2분의 1의 제곱 자 공간이 조금 좁네요 제가 조금 왼쪽에 붙여서 쓰도록 위에다 쓰도록하겠습니다 - x-2분의 1의 제곱 플러스 4분의 1로 정리가 됩니다 자 그러면 얘는 꼭짓점의 좌표가 몇 콤마 몇이에요 2분의 1/4이죠 자 이런 식으로 우리 같은 방법으로 찾아낼 수 있습니다 자 마지막 4번 볼 거고요 자 y는 -2분의 1x의 제곱 마이너스 x + 1이구요 자 x 제곱의 수익 마이너스 2분의 1로 묶어주면 x의 제곱 + 2x가 됩니다 자 d의 + 1 원래 있었구요 우리가 요거를 + 1 - 1을 해주면 되고요 -1을 바깥으로 보내주면 플러스 1/2이죠이 마이너스 1/2라고 곱해주는 겁니다 그러면 -2분의 1의 x+1의 제곱이고요 그리고 1과 2분의 1을 더해주면 2분의 3이죠 자 그럼 꼭짓점의 좌표가 지금 몇콤마 몇이에요 마이너스 1 2분의 3입니다 자 우리가이 개념 예제하면서 여러가지 이차함수식에서 꼭짓점을 찾아봐서요 자 우리가 여기서이 꼭짓점 찾는 방법을 이해하고 활용할 수 있는게 정말 중요합니다 우리가 어떤 상수항을 더해줘야 되고 다시 빼 줘야 되고 그거 바깥으로 빼서 정리해 줘야 되고 이거는 우리가 2차 함수단원뿐만 아니라 우리가 이제 고등학교에 가서 수학을 배울 때에도 정말 많이 나오는 내용이니까 우리가 이렇게 완전 제곱식으로 변형하는 것 꼭 연습 충분히 하시기 바랍니다 자 복습데 꼭 할 거라고 믿고요 우리는 일단 뒤로 좀 더 가서 배워보도록 할게요 자 이차함수 y는 ax² + bx + c에 그래프와 abc의 부호라고 써 있는데요 우리는 어떤 이차함수 그래프에서 그 그래프가 좌표 평면이 표시되어 있을 때 정확하게 그래프를 그래프 식을 구하지는 못하더라도 abc의 부호만 우리가 찾아낼 수있는 방법이 있습니다 자 일단요 우리가 a의 부호는 어떻게 결정하냐 자 a의 부호는 쉽죠 x²의 계수기 때문에 그래프가 위로 볼록하냐 아래로 볼록하냐에 따라서 결정을 할 수가 있어요 자 이렇게 아래로 볼록하면요이 창의 계수가 양수고 a가 양수인 거고요 이렇게 위로 볼록하면 a가 음수인 겁니다 그래서 우리 그래프 모양 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 가지고 a의 부호로 결정할 수 있어요 자 두 번째 b의 부호인데요 두 개의 위치에 따라 결정한다라고 되어 있어요 자 우리 앞에서이 축의 방정식 x는 -2a 방정식 x는 -2분의 b가 양수면요 우리가 2A 분의 b는 음수라는 것을 알 수가 있고요 분모와 분자가 지금 존재할 때 음수가 된다는 것은분모와 분자의 부호가 다른 것이죠 즉 a와 b의 부호가 다른 것이고요 ab를 곱했을 때 음수가 된다는 것을 우리가 알 수가 있습니다 자 그러면 우리가이 추기직은 양수면 축이 양수라는 것은이 축이 y축 오른쪽에 존재하게 되는 거고요 이러한 경우에 ab가 음수가 나오는 겁니다 ab가 음수가 나오는 거예요 자 반대로 만약에 축이 y축 왼쪽에 존재하면 우리는 a b가 양수라는 것을 알 수가 있겠죠 우리가 부등호 방향만 반대로 된 겁니다 자 y축과 일치하면 우리는 a가 0일 순 없으니까 2차 함수에서 a가 0일 순 없으니까 b가 0이구나라는 것까지 알 수 있습니다 자이 내용도 꼭 기억해 주시기 바랍니다 우리가 c는 어떻게 찾을 수 있냐 y축과의 교점의 위치로 찾아낼 수 있습니다 자 c값은요 x가 0일 때에0 콤마 c라는 점으로 우리 재산이 되기 때문에 우리 0 y축과의 교점을 의미하고 얘가 x축 위에 있으면 양수고 x축 아래에 있으면 음수죠 자 그래서 그 내용이 이렇게 정리되어 있는 겁니다 자 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 위치하면 c는 양수고 y축과의 교점이 아래쪽에 위치하면 x2 아래쪽에 위치하면 c는 음수다라고 되어 있는 겁니다 자 원점이 있으면 우리는 c는 0이라고 할 수 있겠죠 0을 지나기 때문에 우리 c는 0이라는 것까지 확인할 수 있습니다 자 넘어가 보도록 할게요 한번 우리가 이걸 가지고 개념 예제를 직접 풀어볼 건데 abc의 부호를 정하라고 했습니다 자 일단 a의 부호를 정할 거고요 a부호는 어떻게 확인할 수 있다고요 아래로 볼록한지 위로 올라간지를 가지고 a의 부호를 확인할 수 있다 그랬어요이 그래프는 아래로 불러가기 때문에 a는 양수가 되겠네요 자 두 번째 자b에 보호는요 우리가이 투기 위치를 가지고 축의 위치를 가지고 판단을 할 수가 있다 그랬고 축이 지금 y축 오른쪽에 있습니다 자 y축 오른쪽에 있을 때는 ab의 부호가 달라요 그런데 우리가 a가 양수기 때문에 곱해서 음수가 나와야 되면 b는 음수가 나와야겠네요 자 마지막 3번이고요 우리 c는 y축과의 교점으로 확인을 할 수 있다고 했고요이 y축과의 교점이 x축 위에 있으니까 양수겠죠 즉시는 양수라는 것까지 우리가 ABC 부호 모두 정할 수 있습니다 자 우리 마지막으로이 필수 예제 풀고 마칠 건데요 자 하나씩 좀 보도록 할게요 ABC 그래프가 다음과 같을 때 옳지 않은 것을 고르라고 했고요 자 일단은 첫 번째 a가 양수냐고 물어봤네요 자 지금 그래프가 아래로 물러가기 때문에 a는 양수라고 할 수 있습니다 자 1번은 맞고요 자 2번 비가 음수냐고물어봤는데 우리 blo는 축의 위치로 확인을 할 수 있고요 축이 지금 y2 오른쪽에 있어서 양수입니다 축이 양수일 때는 ab에 보호가 음수인 것이고요 a가 양수니까 b는 음수겠네요 자 c는요 우리가 y축과의 교점으로 확인을 할 수 있고요 제가 y축과의 교점이 x축 위에 있으니까 양수라는 것을 확인할 수 있습니다 자 이제 4번 5번을 볼 건데 4번을 보면 a+b+c가 양수인지 확인을 하래요 자 우리가 이거는 어떻게 확인을 하냐면이 주어진 이차함수식에다가 x의 어떤 숫자를 대입하는 거예요 자 어떤 숫자를 대입해야 a+b+c가 나와요 x에다가 1을 대입해야 a+b+c라는 y 값이 나옵니다 즉요 2차 함수는 1 a+b+c라는 점을 지나는 2차 함수고요x에다가 1을 대입을 했을 때이를 대입했을 때 그때의 함수값이 a + b + c라는 소리인데 지금 a+b+c가 x축 아래 있죠 음수입니다 음수기 때문에 우리 4번 지금 양수라고 해서 틀렸네요 답은 4번입니다 자 5번까지 한번 보도록 할게요 자 얘도 마찬가지로 x에다가 어떤 스타일 대입해서 4a+2b+c가 나오게 할 건데 얘는 x의 R 대입해야 돼요 2를 대입해야 됩니다 자 x의 1을 대입하면 y는 4a + 2b + c고요 자 그때 함수값이 양수인지 음수인지 봐주면 되겠죠 자 x에다가 1 대입하면 그때 함수값이 여기고 그 함수값이 4a+2b + c인데 x축 위에 있으니까 양수겠네요 자 5번은 맞습니다 자 여기까지 해서요 우리가 2차 함수 y는 ax² + bx + c 꼴에 관해서공부를 해봤어요 자 우리가 중간에 꼭짓점을 찾는 방법 완전 제곱식을 만들어서 꼭짓점을 찾는 방법 정말 중요하니까 그 부분 연습 철저히 하시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨고요 감사합니다 [음악]