[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 이차함수 - 이차함수의 식 구하기

자 오늘 학습할 내용은 2차 함수의 19억입니다 자 우리가 이제 오늘 2차 함수를 마지막으로 배우는 날이죠 자 마지막까지 우리 한번 꼼꼼하게 공부 한번 해보도록 합시다 자 우리가 오늘 2차 함수의 식 구하기에선 뭘 구할 거냐면 어떤 주어진 상황에서 2차 함수 식을 찾는 방법을 배워 볼 거예요 자 이렇게 4가지 케이스에 대해 설명이 되어 있는데 자 하나씩 볼 건데 보기 전에 우리는 요 이차함수식을 두 가지로 활용을 해 줄 거예요

y는 a의 x-p의 제곱 플러스 q라는 2차 함수식과 y는 ax² + bx + c라는 2차 함수식 둘 중 하나를 활용을 해 줄 거예요 자 첫 번째 식은 언제 활용하는 거냐면 우리가 꼭짓점에 관한꼭짓점에 관한 단서가 있을 때 첫 번째 거를 활용할 거예요 자 꼭짓점에 관한 단서가 없으면 꼭짓점에 관한 단서가 없으면 우리가 두 번째 식을 활용해 주도록 하겠습니다 자 요게 일반적인 거고요 우리가 하나 더 추가할 건데 그거는 이제 4번에서 해보도록 할게요

자 일단 1번 2번 3번 보도록 하겠습니다 자 1번 꼭짓점 p 콤마 q와 그래프 위에 다른 한 점을 알고 있대요 자 그러면 어떻게 하냐면 우리가 꼭짓점에 관한 단서를 알고 있으면 첫 번째 식을 활용을 한다 그랬어요 자 꼭짓점을 알고 있으면 우리가 아예 꼭짓점을 알고 있으면 그 꼭짓점을 가지고 식을 이렇게 써 주는 겁니다 자 그 다음에 다른 한 점을 대입을 하면요 우리가 꼭짓점을 알고 있으니까 피값 q값은 알고요 a값만 모르는 거였죠 다른 한 점을 대입하면 우리가요 a값을 구할 수 있는 겁니다 그러니까 두 번째 상황은 시계방정식이 주어진 건데 자 추계방정식과 그래프의 두 점을 안돼요 자 축의 방정식은 뭐랑 같아요 꼭지점에 x좌표랑 같은 겁니다 꼭짓점에 x좌표를 알고 있는 거기 때문에 마찬가지로 와 있는 ax - p의 제곱 플러스 q로 그래프를 잡아줄 거구요 우리는 이미 p값을 알고 있는데 뭐를 구해야 돼요 a랑 출구해야 되죠 자 그래서 그래프 위에 다른 두 점을 대입해서 a 값과 q값을 각각 구해줄 수가 있습니다 자 세 번째는요 그래프 위에 서로 다른 세 점을 알 때라고 되어 있는데 자 이럴 때는 우리가 꼭짓점에 관한 단서가 없어요 우리가 단순히 그냥 점 세개를 알고 있을 때는 그 점 3개를요 2차 함수식 y는 ax² + bx + c의 대입하여서 a값 B 값이 값을 연립해서 구해주면 됩니다

자 마지막네 번째는요 우리가 조금 특이한데요 x축과의 교점을 알고 있을 때 자 알파 콤마 0과 베타콤마 0을 알고 있대요 자 y 좌표가 0이기 때문에 y는 ax 되고 + bx + c에서 y 좌표가 0이면 ax² + bx + c는 0이라는 2차 방정식이 나오죠 자 2차 방정식이 나오는데 여기서 나온 x값들이 우리 x축과의 교점에서의 x좌표들이니까 알파랑 베타를 근으로 갖는 겁니다 얘가 알파 베타를 근으로 갖는 거예요 그러면 우리가요 2차 방정식을 어떻게 쓸 수 있다 그랬어요 a의 x 마이너스 알파 x 마이너스 베타로 쓸 수 있다 그랬죠 그래서 마찬가지로 우리는요 2차 함수식을 a의 x - 알파 x - 베타라고 쓰는 겁니다 자 이렇게 쓰고요 우리가 다른 한 점 다른 한 점 대입해서a값 마저 구해주면 되겠죠 자 이렇게 4가지 케이스에 대해서 우리가 한 번씩 필수 예제 풀어 보도록 할 거예요

자 첫 번째 필수 예제인데요 자 ax² + bx + c의 그래프가 다음 글인 것 같아요 abc를 구하는 문제고요 자 지금 여기 보면 -1 콤마 3이라는 점이 꼭짓점입니다 꼭짓점이 지금 -1이구요 지금 여기 y축과의 교점 0 콤마 6이라는 점도 지나네요 자 그러면 우리가이 두 점을 알고 있다 그래서이 두 점을 여기다가 대입을 하면 a 값 B 값이 값을 구하지 못합니다 자 일단 저거는 신경 쓰지 말고 우리는 꼭짓점이 -13인 2차 함수식을 그냥 먼저 쓰는 겁니다 a의 x+1의 제곱 플러스 3이라고 쓴 다음에 0 6을 대입을 해줘요 0을 대입을 해서 a 값을 구해주면 됩니다 자 0 대입하면요a는 a + 3은 6이기 때문에 우리가 a는 3이라고 구할 수가 있어요 자 따라서 y는 3의 x+1의 제곱 플러스 3이고요 요거를 전개하면 3x 되고 플러스 6x + 6이라고 정리할 수 있습니다 자 그러면 우리가 ax² + bx + c 꼴에서 a값 b 값 c값 구해주는 문제니까 여기서 a는 3 b는 6 c는 6이라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 됐죠 넘어가겠습니다 x는 5를 축으로 안 돼요 자 요거는 무슨 말이에요 꼭짓점의 x 좌표가 5라는 겁니다 자 그럼 꼭짓점에다 표를 5 q라고 할 거고요이 5 q를 꼭짓점으로 하는 이차함수식을 제가 쓸 수 있겠죠 y는 a의x 마이너스 5의 제곱 플러스 q라고 써주면 됩니다 자 두 점 지나는 거 6 -1을 각각 대입을 해 줄 거고요 6 콤마 4를 대입을 해주면 우리는 a+q는 4라고 구할 수 있고요 자 이번엔 3-2를 대입하겠습니다 3 - 2를 대입을 해주면 우리가 4a+q는 -2라고 구할 수가 있겠네요 자 두 개 연립해서 a값 축 값 구해주면 되고요 위의 식의 4배식을 빼주면 -3a는 6이니까 a는 -2구요 우리가 q값은 6이라고 구할 수 있습니다 따라서 우리가 찾고 싶었던 이차함수식을 이렇게 완벽하게 찾아낼 수가 있겠죠 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요 지나는 포물선에 꼭짓점을 좌표를구하는 거고요 우리가 이렇게 세 점이 좌표가 주어져 있을 때는 이차함수식을 y는 ax 되고 + bx + c라고 잡고 a값 b 값이 값을 구해주면 됩니다 자 우리 주어진 점 하나씩 대입을 해주면 되고요 0 -1을 대입을 해주면 -2는 우변에는 c만 남습니다 자 따라서 c는 -2라고 얻어낼 수가 있고요

자 이번에는 1-3을 대입을 해 줄 건데 1-3을 대입을 해주면 -3은 a+b+c입니다 자 c는 -2이기 때문에 우리 a + b는 -1이라고 구할 수가 있겠네요 자 이번엔 3콤마 7을 대입할 거고요 3 7을 대입을 해주면 7은 9a + 3B+ c입니다 자 우리 c가 -2니까 9a+ 3b는 9라고 정리가 되고요 양변에 3으로 나눠주면 3a+b는 3이라고 나옵니다 자 그러면 우리가 a 값 B 값을 연립을 해서 구할 수가 있겠네요 3a+b는 3이고 a+b는 -1이죠 자 위에서 아래 거를 빼주면요 2a는 4라고 나오고 a는 2라고 구할 수가 있습니다 자 a가 2이기 때문에 우리가 b는 -3이라고 구할 수가 있겠죠 자 그러면 주어진 이차함수가 y는 2x 제곱 마이너스 3x - 2라고 정리가 되고요 자 이거의 꼭짓점을 우리가 찾아 줘야 돼요 꼭짓점을 찾아 줘야 되니까 우리 2차항이 계속 2로 묶어주고요 x 제곱 자 2로 묶었으니까 -2분의 4x입니다 자 괄호 낮고 -2죠 자우리 상수항을 만들어 줘야 되고요 요상 수학 만드는 거 자 x 계수의 절반 즉 마이너스 4분의 3을 우리가 제곱에서 더해주죠 플러스 16분의 9입니다 자 다시 마이너스 16분의 9를 해줘야 되고요 우리 이때이 마이너스 16분의 9를 밖으로 빼서 계산을 해 줘야 됩니다 자 밖으로 빼주면 얘 x의 제곱 마이너스 2분의 3의 x + 16 - 자 밖으로 뺄 때 여기에 있는 2를 곱해서 빼는 거죠 2를 곱해서 빼주면 - 8분의 9 - 2까지 나옵니다 자 따라서 우리가 2에 x - 4분의 3의 제곱이고요요 - 8분의 9와 -1을 계산을 해주면 얘가 8분의 16이니까 - 8분의 25라고 정리가 됩니다 자 그러면 우리가꼭짓점에 좌표를 이제 찾을 수가 있죠 꼭짓점을 좌표는 4분의 3 콤마 -8분의 25라고 구할 수가 있습니다

자 여기까지 됐을까요 자 그럼 다음 거 한번 보도록 할게요 자 이번엔 이창수 y = ax² + bx + c의 그래프가 x축과 요런 점에서 만난대요 -1 0하고 4 0하고 자 그러면 우리가 이차함수식을 어떻게 써줄 수 있다고요 y는 a에 자 -1을 넣어서 0이 나와야 되니까 x+1을 가져야 되고요 4를 대입해서 0이 나와야 되니까 x-4를 가는 겁니다 자 그런데 a값을 구하기 위해서 자이 0 6을 지난다는 것을 활용해서 우리가 테이블 해주면 되고요 0을 대입을 해주면 6은 -4a입니다 따라서 a는 -2분의 3이고요 우리가 찾고 싶었던 2차 함수는 y = -2분의 3의x + 1의 x-4예요 자 전개해 줄 거고요 x의 제곱 마이너스 3X - 4니까 - x 제곱 + 2분의 9x + 6이라고 정리할 수 있습니다 따라서 a는 -2 b는 1/2 c는 6이죠

자 여기까지 해서 우리가 오늘 2차 함수 19하는 내용까지 모두 학습을 마쳤고요 어학생들이 2차 함수는 이제 많이 어려워하는 단어예요 이차함수 많이 어려워하니까 우리가이 개념들 완벽하게 이해해야 되고요 오늘 이제 2차 함수 끝났으니까 전체 복습 한번 꼭 해주시고 그렇게 하고 문제로 많이 풀면서 실력 쭉쭉 올리시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다