[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 삼각비 - 삼각비의 뜻

자 오늘 학습할 내용은 삼각비의 뜻입니다 자 우리가 오늘부터 중학수학 3학년 2학기 과정 시작을 하게 되는데이 3학년 2학기 과정에는 삼각비를 배우고요 그리고 원을 배우고 통계까지 배우게 됩니다 일단 앞부분에 도형 파트를 우리가 이제 배워 볼 텐데 그 중에서 첫 번째로 이 삼각비에 관해서 배울 거예요 자 우리가 여기는 개념을 정확하게 아는 것도 중요하지만 그 개념을 다양한 도형의 적용시키는게 정말 중요합니다 우리가 그 적용시키는 연습은 복습을 많이 하면서 연습을 꼭 해야 되고요 자 일단은 오늘이 삼각비 한번 배워보도록 하겠습니다

자 이 삼각비가 무엇인지 이거를 먼저 알아야겠죠 자 삼각비가 무엇인지 보기 전에 우리가이 오른쪽에 그림에서이 삼각형 abc를 한번 보도록 할게요 자 이렇게 abc는요 지금 여기가 직각인 여기도 직각이겠죠 직각인 직각삼각형이에요 그런데요 ab를 연장을 하면요 ab를 쭉 연장을 하고 a씨도 쭉 연장을 해요 자 연장을 했을 때요 뒤에서 이렇게 수직인 선분을 만들면 우리가 삼각형 ade를 만들어낼 수 있는데 자이 삼각형과 원래 처음에 그렸던 abc는요 닮음이죠 우리가 여기 각도가 공통이고요 여기도 직각 여기도 직각 AA 닮음입니다

자 그것뿐만 아니라 우리가 f에서 이렇게 수직인 선분을 그리면 삼각형 afg도 같은 이유로 AA 다이멈입니다 자 abc와 ade와 afg 그리고 그런 삼각형을 계속 만들어낼 수 있겠죠 자 모두 닮음이에요 자 닮음인데 우리가 이거를 어떻게 표현을 할 수가 있냐 자AB 분의 bc는요 우리가 AD 분의 ad분의 de와 같다고 할 수 있고요 그리고 af분의 fg와 같다고 할 수 있습니다 우리가 닮음이 성립을 하기 때문에 AB대 B c는 ABD B c는 AD 대에 AD대 d2고요 자 요거를 이렇게 표현할 수 있겠죠 bc분의 a b는 AB 분의 bc는 abc는 ad분의 d2라고 쓸 수 있어요 자 근데 요거를 삼각형 afg에서도 똑같이 적용을 시켜주면 af분의 fg라고 쓸 수 있겠죠 자 이렇게 닮음인 삼각형에서는요 길이 b가 항상 일정해요삼각형 크기가 작든 중간 정도 크기가 되든 크기가 엄청 커지든 우리가이 길이 비는 항상 일정하기 유지되는 겁니다 우리가 삼각형을 계속 만들어내도 이런 식을 만들어낼 수가 있어요 자 그래서요 AB 분의 b c를 가지고 이런 식을 만들어 낼 수 있고요 AB BC 말고 AB 분의 AC 가지고도 만들어낼 수 있겠죠 AB 분의 a c는 AD 분의 a2랑 같을 거고요 그리고 af분의 a g랑도 같을 겁니다 자 그리고 요것도 같겠죠 ac분의 BC ac분의 pc는 a2는 a 지분의 f g랑도 같을 겁니다 그에 관한시기 요렇게 정리되어 있죠 자 다이머 미사각형에서는 이렇게 항상 길이비가 일정해요 자 우리는요이 관계를 이런 길이 비를 삼각비라고 할 겁니다 자 교재 내용을 읽어 볼게요각 c가 90도인 직각삼각형 abc에서 가게에 대해서 ab를 빗변 ac를 밑변 bc를 높이라 하면

자 우리가요 명칭도 잘 기억해둬야 돼요요 a에 대해서 지금 여기가 직각이죠 가장 긴 변의 길이를 빗변이라고 하는 거고요 여기 a가 바라보는 a가 바라보고 있는 변을 높이라고 합니다 그리고 이렇게 밑에이 각도 a부터 90도까지 이어지는 선분을 우리가 밑변이라고 해요 자 이렇게 잡았을 때 우리는이 길이비를 어떤 삼각비로 정의를 하고요 빗변 길이 분의 높이를 자 빗변 길이 분의 높이를 이거분의 이거를 우리는 sina라고 씁니다 자 sina를 쓰는 거고요 a는 각도를 의미합니다 우리가 요각을 기준으로 지금 삼각비를 정의해주고 있는 거예요 그래서각 a에 대해서 사인이라 그러면 sina라고 쓰고요 그거를 빗변 길이 분의 높이로 정했어요 그리고 요거를 AB 분의 bc라고도 표현할 수 있겠죠 자 빗변 길이 분의 밑변을요 우리는 코사인 a라고 정의합니다 각도 a에 관한 코사인이고요 코사인 a는 빗변 길이 분의 밑변 빗변 길이 분의 밑변을 코사인이라고 해요 자요 탄젠트 a는요 탄젠트 a는 밑변 길이 분의 높이고요 요거 분의 요거가 탄젠트 a입니다 자 우리 코사인과 탄젠트도 마찬가지로 AB 분의 AC a7의 bc라고 우리가 요런 실제 선문 길이로도 표현을 할 수가 있겠죠 자 이 사인회의 코사인의 탄젠트 a를 우리가 각 a의 삼각b라고 하고요 우리가이 삼각비는요 질이 b를 주는 겁니다 어떤 각도가 똑같으면 예를 들어우리가 위에서 이런 삼각형을 우리가 가지고 어떤 분수꼴을 만들어 냈었는데 자 이 삼각형에서 지금요 삼각형이나요 삼각형이나요 삼각형이나 닮음이고 각도 a가 똑같은 직각삼각형이기 때문에 각도의가 똑같을 직각삼각형이기 때문에 사인 코사인 탄젠트의 값이 항상 일정한 거예요 그래서 우리는이 싸인 코사인 탄젠트를 활용해서 다양한 상황에서 어떤 길이와 각도를 찾는 연습을 할 겁니다

자 그래서요 우리가요 내용이 제일 중요합니다 각도 a가 크기가 정해지면 직각삼각형의 크기의 관계없이 삼각비의 값은 항상 일정하다 자 우리가 각도가 정해지면 길이 b가 정해지는 거예요 자 우리가이 삼각비는요 어디서만 정의라고 있냐면 직각삼각형에서만 정리하고 있는 겁니다 우리가 직각삼각형에서만 삼각비를 쓸 수 있어요 자 그럼 우리가 여기서 중요한게 뭐냐 일단 사인이 뭔지 알아야 되고요코사인이 모븐에 뭔지 알아야 되고 탄젠트가 뭐 분의 뭔지 알아야 돼요이 세 가지 우리가 정확하게 구분을 해줘야 되고요 빗변이 어디를 의미하고 높이가 어느 의미하고 밑변이 어디를 의미하는지도 같이 기억을 해줘야겠죠 그리고 우리 삼각비는 항상 길이 b가 일정하다는 거 직각삼각형에서 길이가 일정하다 그거까지 같이 기억해 주시면 될 것 같습니다

자 사인은요 우리가요 그림상에서 자 여기 한번 지워 볼게요 사인은요 a에 대해서 요 빗변의 길이 분의 높이인데 우리가 요걸 항상 주어진 삼각형에서 sin 값을 찾을 수 있어야 돼요 그래서 저는 요거를 어떻게 확인을 하냐면 사인의 s자를 따서요 직각삼각형의 s를 그립니다 어떻게 그리냐면 요렇게 그려요 s를 그러면 이거 분의 요거 빗변 분의 높이라고 우리가 눈으로 볼 수 있죠 자 코사인은요c를 이렇게 그립니다 이렇게 빗변 분의 밑변 자 탄젠트는요 우리가 t를 이렇게 쓸 거예요 이렇게 자 밑변 분의 높이 밑변 분의 높이 그래서 우리가 쌓인 코사인 탄젠트가 뭐 분의 뭔지 이렇게 헷갈릴 때는 s와 c와 t를 써서 머분의 뭔지 확인을 해줘도 더 좋습니다 우리는 일단이 삼각비에 익숙해져야 돼요 자 넘어가 보도록 할게요 자 우리 개념 예제 볼 건데요 자 직각삼각형 abc에서 다음 삼각비의 값을 구하라고 했고요 일단은 sin a값 먼저 구해 보도록 하겠습니다 자요 각도 a에 관해서 sina는요 sina는 빗변 분의 빗변 분의 높이의 길이구요 자 빗변이 어디예요 빗변은 가장 긴 변의 길입니다 가장 긴 변의 길이 10이구요 높이는 여기죠 우리 a가 바라보고 있는 변 이렇게 돼서 6이네요10분의 6이고 사인 A 값은 5분의 3이라고 우리가 구할 수가 있어요 물론 그림으로 이렇게 스타를 그려서 10분의 6이라고 해줘도 좋겠죠 자 두 번째 코사인 a인데요 코사인 a는 밑변을 밑변을 빗변으로 나눈 겁니다 자 밑변 길이가 지금 8이고요 밑변 길이가 8이고 빗변 길이가 10이죠 그러면 우리가 10분의 8이라고 쓸 수 있겠네요 자 5분에서 하라고 구할 수 있고요 우리가 그림상에서 씨를 이렇게 그려줘도 됩니다 이렇게 10분의 8 자 마지막 세 번째 사인 b구요 자 싸인 b는요 우리가 지금 각도가 바뀌었어요 그러면 진짜 그림을 좀 지워 볼게요 자 쌓인 b는요 요각을 기준으로 하는 사인 값이고요 자 우리 이제 각도 위치가 바뀌었으니까 빗변하고 밑변하고 높이 위치도 그에맞춰서 생각을 해줘야 됩니다 자 sin 값은 빗변 분의 높이고 자 빗변 분의 높이인데 빗변은 가장 긴 변 10인 거 변하지 않습니다 자 높이는 뭐라 그랬어요 각도 b가 바라보는 변 즉 8입니다 자 쌓인 b는 5분의 4예요 자 4번 탄젠트 비구요 탄젠트 비는 밑변분의 높이에요 밑변 분의 높이인데 지금 비가 여기에 있으니까 밑변이 여기구요 높이가 여깁니다 그래서 6분의 8로 계산을 해주면 되고요 3분의 4라고 계산이 되네요 자 여기서도 물론 싸인 b를 찾을 때에 s자를 우리가이 그림에서 쓰면서 확인을 해줘도 좋습니다

자 밑에 개념 예제 하나 더 보도록 하겠습니다 자 직각삼각형 abc에서 다음 삼각비의 값을 구하라고 했는데 일단 1번 싸인 a입니다 우리가 a를 보니까 여기 있어요a가 여기 있고 빗변은 가장 긴 변이니까 루트 12 빗변이고요 자 사인은 빗변 분의 높이인데 밑변분의 높이인데 높이는 여기서 어디예요 a가 바라보고 있는 변의 길이 즉 3입니다 그래서 루트 10분의 3이라고 구할 수 있고요 우리가 분모의 유리화까지 해서 10분의 3 루트 10이라고 구할 수 있겠죠 자 이번 코사인 a인데요 코사인 a는 빗변 분의 밑변입니다 자 빗변의 길이는 우리가 루트 10이라고 알고 있어요 그런데 지금 밑변의 길이를 모르죠 자 밑변의 길이를 모릅니다 여기 어떻게 구할 수 있을까요 자 우리가이 삼각비는요 삼각비는 직각삼각형에서 정리가 된 거라 그랬어요 그런데 우리가 직각삼각형에서는 피타고라스의 정리가 성립을 하죠 그래서 우리가이 삼각비 단원을 배울 때 피타고라스의 정리를 정말 많이 쓸 겁니다 그래서 우리 삼각비 쓰면서 피타고라스 자유자 있고 같이 사용을 해 줘야 돼요그러면 제가 여기 AC 길이를 x라고 놓고 피타고라스의 정리를 써주면 x 제곱 플러스 3의 제곱은 루트 10의 제곱이고요 x² + 9 = 12니까 x 제곱은 1이고 x는 플러스 마이너 1이라고 구할 수 있겠네요 그런데 x는 우리 선분 길이니까 음수가 나올 수 없어서 x는 1이라고 구할 수 있습니다 따라서 밑변 길이는 1이고요 우리가 루트 10분의 1을 유리화해서 10분의 루트 10이라고 답을 쓸 수 있겠네요 여기까지 됐나요 우리 넘어가 보도록 할게요 자 우리가 일단 삼각비를 배운 거는 모두 배워 봤구요 우리 뒤에 있는 필수 예제까지 마무리해서 오늘 시간 마치도록 하겠습니다

자 첫 번째 필수 예제구요 다음 그림과 같은 직각삼각형 abc에서 자 ab의 길이가 15고요 사인 a가 5분의 3이래요 자 그랬을 때 AC 길이와BC 길이를 구하라고 했네요 자 우리는 지금 길이가 하나밖에 안 주어져 있어요 그리고서 sin a가 5분의 3이란 것을 같이 줬죠 자 그러면 우리가이 사인을 가지고 다른 변의 길이를 찾을 수가 있는 거예요 자 사인 a는요 우리가 지금요 각도를 기준으로 하기 때문에 빗변의 길이 분의 높이가 높이가 바로 sina입니다 자 그럼 제가이 사인 네일을 구할 때는 원래 15분의 bc로 구해야 돼요 근데 그 값을 계산했더니 뭐가 나왔다는 거예요 5분의 3이 나왔다는 거죠 그러면 우리가 여기서 BC 길이를 찾을 수 있는 겁니다 자 bc는 9라고 나오고요 자 우리가 그러면 이제 AC 길이만 찾아주면 되겠네요 자 ac기를 x라고는 올 거고요 지금 직각삼각형에서 두 변의 길이를 아는데 나머지 한 변의 길이만 모르는 거죠 이럴 때는 뭘 써야 돼요피타고라스 써야 되죠 앞에서 말했듯이 우리 피타고라스 정말 많이 나옵니다 자 x 제곱 플러스 9의 제곱 81은 15의 제곱 225구요 x 제곱은 144입니다 자 제곱에서 144가 되는 건 플러스 마이너스 12구요 우리 x는 선분기 1이니까 12만 답으로 써주면 되겠네요

자 두 번째 필수예제 한번 보도록 하겠습니다 자 a가 0도 하고 90도 사이에 있을 때 지금 4 코사인 a 마이너스 3이 0이라 그랬네요 그랬을 때 sin a의 값을 구하라 그랬어요 자 우리가 여기서 어떤 거를 알 수 있냐면 각 a에 대한 코사인 값을 구할 수가 있어요 코사인 a는 4분의 3이죠 그러면 이거를 가지고 우리가 sina 값을 구할 수가 있습니다 자 우리가 sine은 어떤 직각삼각형에서 각도와 정해졌을 때 길이의 b를 나타내는 거라고 했고요제가이 코사인 a값을 알고 있으니까 우리는 뭘 구할 거냐 각도 a를 갖는 어떤 새로운 직각삼각형을 만들어 줄 거예요 자 그랬을 때 코사인 a가 4분의 3이라는 말은 요 길이 분의요 길이가 4분의 3이라는 거고요 즉 길이비가 4대 3이라는 겁니다 그런데 우리가 어차피 길이 비는 삼각형의 크기가 달라져도 똑같기 때문에 그냥 저는 4랑 3으로 놓고 문제를 풀 거예요 자 만약에 이렇게 4랑 3을 잡고 여기 길이를 구해서 sin 값을 구하나 삼각형을 요렇게 큰 삼각형을 그려서 각도 a가 여기 있고 여기 1위를 8 여기를 6요 길이를 네모라고 잡고 여기 네모를 구해서 sina 값을 구하나 어차피 sina 값은 길이 b라서 똑같기 때문에굳이 문자로 잡지 않고 다른 숫자로 잡지 않고 4:3의 비율이 유지되는 가장 쉬운 숫자인 4와 3을 가지고 우리가 sin 값을 구해줘도 된다는 얘기입니다 자 그러면 4랑 3이 있으니까 제가이 길이를 x라고 놓으면요 x 제곱 플러스 3의 제곱은 4의 제곱이고요 x 제곱은 7로 정리가 돼서 우리 요거 양수로 나와야 돼서 x는 루트 7이라고 구할 수 있습니다 그러면 여기서 sina 값은 4분의 루트 7이라고 구할 수 있겠죠 자 사인 이렇게이 부분에 이거 이런 식으로 우리가 싸니까 구해주면 됩니다

자 여기까지 해서 우리가 삼각비를 배워 봤어요 자 우리 삼각비 사인이 보고 코사인이 보고 탄젠트가 뭔지 정확하게 알아야 되고요 우리 어떤 삼각형에서 사인 코사인 탄젠트 찾아내는 거 정말 중요합니다 우리 뒤에 가면 갈수록 우리가이 삼각비 내용을 제대로 숙지하지 않고 갔을때는 이해되는 내용이 있을 수가 없어요 있을 수가 없으니까 여기네요 완벽하게 공부하고 문제도 많이 풀고 복습하고 뒤에 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다