[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 삼각비 - 특수한 각의 삼각비와 사분원

자 이번 시간에 학습할 내용은 우리 특수한 각의 삼각비와 사분원입니다. 자 우리가 지난 시간에 삼각비가 뭔지를 배웠었는데 오늘은 그 삼각비에서 좀 특수한 각에 대한 특수한 각에 대한 삼각비를 구하는 방법을 배워보도록 할 거예요 자 일단은 우리가 30도 45도 60도의 삼각비의 값을 배워 볼 건데 우리가 정말 많이 나오는 각도들이에요

자 우리가 교재를 한번 보면이 30도랑 45도랑 60도인 가게 삼각비의 값은 정사각형과 정삼각형을 활용하여 우리가 구할 수 있다 그랬어요 자 우리가 여기 있는 이 정사각형을 보면요 정사각형을 보면 지금 요렇게 정사각형을 반으로 자릅니다이 대각선으로 자르는 거예요 자 대각선으로 잘라주면 이런 모양이 나오는데 우리가 정사각형이기 때문에여기 길이랑 여기 길이가 같고요 여기 각도를 45도라고 구할 수 있죠 우리가 여기도 각도가 똑같기 때문에 우리가 90도를 반으로 나눠서 45도라고 구할 수 있는 겁니다 자 이등변삼각형이기 때문에 여기도 45도구요 그 정사각형의 한 변 길이를 1이라고 잡으면 자유 한 변의 길이를 1이라고 잡으면 우리 여기도 1이라고 구할 수 있고요 여기 빗변의 길이는 x라고 하겠습니다 x라고 보면 피타고라스의 정리에 의해서 x 제곱은 1의 제곱 + 1의 제곱이고요 우리가 2라고 나오니까 x는 루트 2라고 구할 수 있어요 자 따라서요 빗변의 길이는 루트 2라고 계산이 됩니다 자 그러면 여기서 우리가이 각도 45도에 대해서 사인 코사인 탄젠트를 구할 수가 있죠 세변의 길을 모두 알고 있으니까 우리가 sin 45도는사인 45도는요 부분에 요거니까 루트 2분의 1이라고 구할 수 있고요 우리가 유리화하면 2분의 루트 2라고 나옵니다 자 코사인 45도는요 마찬가지로 루트 2분의 1이네요 자 그럼 계산하면 2분의 루트 2가 나올 거예요 자 탄젠트 45도는요 우리가 1분의 1이라서 그냥 1이라고 나오겠네요 자 이렇게 사인 45도 코사인 45도 탄젠트 45도를 모두 구할 수 있죠 자 그런데 지금 길이를 1이라고 잡아놨는데 길이가 1이 아니라 2나3이어도 삼각비의 값은 일정하다라고 우리가 지난 시간에 배웠어요 그래서 우리가 길이가 꼭 1이 아니어도 이렇게 직각 이등변 삼각형이면 또는 우리가 직각삼각형에서 각도 하나가 45도면 이렇게 사인 코사인 탄젠트를 구할 수가 있는 겁니다

자 그거를 표로 정리하면요 사인 코사인 탄젠트에서45도에 대한 값들은 2분의 루트 2분의 루트 2 1이라고 나오는 거예요 자 이번엔 정삼각형에서 볼 건데요 자 정삼각형이 만약에 이렇게 두어져 있으면 우리가 정삼각형이기 때문에 각도 하나를 60도라고 60도라고 구할수 자 그러면 이러한 직각삼각형이 만들어졌네요 우리가 삼각비는 직각삼각형에서만 정의가 되죠 자 그러면 제가 여기서이 정삼각형 한 병 길이를 2라고 잡아 볼게요 2라고 잡으면 여기도 2적 자 그런데 정삼각형에서 정사각형은 이등변 삼각형이기도 하기 때문에 여기에 수직인 선분을 내리면 여기가 2등분 됩니다 그러면요 길이를 1이라고 구할 수 있죠 자 그랬을 때 여기를 x라고 놓으면 여기를 x라고 하면피타고라스의 정의에 의해서 2의 제곱은 x의 제곱 플러스 1의 제곱이고요 x 제곱은 3이라고 정리가 됩니다 따라서 x는 루트 3이라고 나오죠 자 여기가 루트 3이라고 우리가 피타고라스로 구할 수 있어요 자 그러면 우리가요 삼각형 def에서 모든 변의 길이를 알았네요 그러면 여기 있는 각도 60도에 대해서 사인 코사인 탄젠트를 구할 수가 있습니다 자 sin 60도는요 요 부분에 요거죠 2분의 루트 3입니다 자 코사인 60도는요 요거분의 요거니까 2분의 1입니다

자 마지막으로 탄젠트 60도는 이거니까 루트 3이라고 정리가 되네요 자 그런데 우리가 60도뿐만 아니라요 위에 있는 30도에 대해서도 사인 코사인 탄젠트를 구할 수 있고요 우리가 30도에 대해서 사인을 구해주면요 부분에 요거죠 자 녹색으로 표시를 할게요요 부분에 요겁니다 2분의 1이고요 자 코사인 30도는 코사인 30도는 요 부분에 요거죠 즉 2분의 루트 3입니다 자 탄젠트 30도는요 탄젠트 30도는 요 부분에 요거니까 루트 3분의 1이고요 우리가 유리화를 통해서 3분의 1 루트 3이라고 구할 수가 있습니다 자 그러면 우리가 지금 sinecos인 탄젠트를 30도 45도 60도에 대해서 구했죠 그런데 우리가이 정사각형에서 만들어지는 45도 정삼각형에서 만들어지는 30도 60도를 매번 이렇게 구할 수 없어요 매번 구할 수 없고 우리가이 정리된 표 30도에서의 삼각비 값 60도에서의 삼각비각 자요 표를 우리가 완벽하게 외워야 됩니다요 완벽하게 외워야 돼요 요거를 외우지 않고 우리가 삼각비 문제를 푸는 거는 불가능합니다 요거를 꼭 외워야 돼요 자 외워야 되는데 어느 정도로 외워야 되냐면 여러분이 이거를 딱 그 어떤 시험이나 문제를 푸는데 그냥 한 켠에이 표를 적어요이 표를 적고 문제를 푼다 그거보다 더 외워야 돼요 예를 들어서 누가 사인 45도 뭐야라고 물어보면 2분의 루트 2야라고 대답할 수 있을 정도로 탄젠트 60도는 뭐야 루트 3이야라고 대답할 수 있을 정도로 우리가 외워야 됩니다 표를 통째로 외우는 걸 넘어서이 각각 사인 몇 도일 때 몇인지 이게 정말 바로바로 나와야 돼요 우리 오늘 수업 마치고 이걸 정말 꼭 외우고 연습하셔야 됩니다 자 항상 이런 친구들이 있어요 이거를 문제를 풀면서 문제를 풀면서 암기를 하겠대요 자 그렇게 하면 안 되고요 우리는요 암기를 먼저 하고요 암기한 걸 우리가 숙달하기 위해 문제를 풀면서 연습을 해 줘야 됩니다제발 문제 풀고 암기하지 말고요 문제 풀면서 암기하지 말고 암기하고 그거 적용시켜 가면서 숙달해야 됩니다 정말 말했어요

자 그러면 우리가 이 표를 한번 조금 볼 건데 지금이 값들을 보면요 사인은 값이 값이 어떻게 되고 있어요 분모는 모두 이입니다 분모는 모두이고 분자가 1 2 3인데 루트가 씌워져 있는 거예요 루트가 지워져 있고 2분의 1에는 원래 루트를 씌우는데 1에는 루트가 있으나 없으나 똑같으니까 그냥 1이네요 자 이렇게 생각을 해 주시면 되고요 코사인은 거꾸로 가는 겁니다 분모가 2인건 똑같은데 분자가 루트 3 루트 2 1 이렇게 점점 잘하시는 거예요 자 탄젠트는요 우리가 45도일 때 1이라고 생각을 해주면 되고요 45도일 때 탄젠트 값이 1인데 자 각도가 커지면 루트 3을 곱해주고요 자 각도가작아지면 루트 3을 나눠줍니다 자 거꾸로 우리가 요렇게 그냥 루트 3을 곱하고 루트 3을 곱한다라고 생각을 해줘도 좋습니다 어쨌든 우리가이 표 꼭 외우시기 바랍니다 자 여기까지 하고요 뒤에 내용도 보도록 하겠습니다 삼각비의 값을 이용하여 다음 그림에서 x y의 값을 각각 구하라고 했고요 자 1번을 먼저 보면요 지금 한 각도가 45도라고 주어져 있고요요 길이가 5라고 주어져 있네요 그러면 우리가 코사인 45도를 쓰면요 코사인 45도를 쓰면 뭐 분의 뭐예요 코사인 45도를 쓰면 요거 분의 요거죠 요거 분의 요겁니다 그러면 y 분의 5라고 나오네요 자 그런데 코사인 45도의 값은 우리가 앞에 표에서 2분의 루트 2라고 나와 있어요 자 이게 지금 머릿속에 들어가 있어야 됩니다 자 그러면 우리가 이거를 풀어서 y 값을 구해주면되고요 양변에 y를 곱합니다 분모의 y가 있으니까 문자를 양변에 곱해주면 오는 2분의 루트 2 y고요 자 2분의 루트 2가 1/2y가 5라고 써 있으면 우리 y를 구하기 위해 어떻게 해줘요 오 나누기 2분의 루트 1을 해주는 거죠 그러면 5 곱하기 루트 2분의 2고요 루트 2분의 10이니까 우리가 분모의 유리화를 통해서 5 루트 2라고 구할 수가 있습니다 자 x는요 지금 여기가 45도기 때문에 우리 90도면 45도 45도라고 구할 수 있고요 우리가 직각 이등변삼각형이라서요 길이와요 길이가 같습니다 따라서 x는 5라고 구할 수 있겠네요 x는 5 y는 5 루트 2가이 문제의 답입니다 자 물론 우리가 탄젠트 45도를 통해서도 구할 수 있어요 탄젠트 45도는 탄젠트 45도는 요거 분의 요거죠5분의 x고 우리 탄젠트 45도가 1이기 때문에 x는 5다라고 구할 수 있어요 자 두 번째 볼 건데요 이번에 각도가 60도라고 주어져 있네요 자 그러면 제가 코사인 60도를 쓰겠습니다 코사인 60도는요 부분이 요거죠 코사인 60도는요 부분에 요거니까 x분의 3이고요 x분의 3은 자 코사인 60도는 2분의 1입니다 그럼 x분의 3은 1/2이 나를 풀어주면 되고 분모의 문자 x가 있으니까 양변의 x를 곱해서 1/2x는 3입니다 따라서 x는 6이다라고 구할 수가 있겠네요 자 이번에 y를 구하기 위해서 우리는 탄젠트 60도를 써줄 거고요 자 탄젠트를 쓰는 이유가 뭐예요 이걸 알고 있고 이걸 모르니까 이거와 이거의 관계인 탄젠트를 쓰는 겁니다 자 탄젠트 60도는 3분의 y고요 3분의 y를 계산한탄젠트 60도의 값은 루트 3입니다 자 양변에 3을 곱해서 y는 3루트 3이라고 구할 수 있겠네요

자 됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 4분 안에서 예각의 삼각비의 값인데요 우리가 일단 4분원이라는 용어가 익숙치 않아요 4분원이 뭐냐면 반지름의 길이가 1인 4분원이라고 적혀 있는데 4분원이라 그러면 우리가 4등분한 원이에요 자 원이 이렇게 있으면 우리가 원해서 하등분하면 이렇게 이렇게 쪼개겠죠 이렇게 쪼갰을 때이 한 조각을 말하는 겁니다 4분원은 4등분된 원에서 한 조각을 말하는 거예요 자 그런데 지금 반지름의 길이가 1인 4분원이라고 했고요 이거를 여기다가 이렇게 그려놓은 겁니다 이렇게 4분원입니다 자 그랬을 때 우리가요 호에서요 4분원에서 호 위에점을 하나 잡습니다 처음 a를 잡으면요이 점에서 요렇게 수선을 하나 만들어 주고 원의 중심 5에서 점 a의 선을 이렇게 그으면 직각삼각형이 하나 만들어집니다 그런데 이번에 반지름이 1이기 때문에이 직각삼각형의 빗변의 길이가 반지름과 같아서 1이 되는 거예요 자 이런 상황에서 각 aoc를 우리는 x도라고 할 거고요이 1과 x도를 활용해서 우리는 뭐를 표현할 거냐 바로이 삼각형의 밑변 길이와 높이를 표현할 겁니다 자 이거를 표현을 해 볼 건데 자 sinx를 쓰면요 사인 x를 쓰면 우리가 요거 분의 요거죠 요거분의 요겁니다 즉 5ac고요 5a의 길이가 1이기 때문에 a씨만 나와요 따라서 여기서 ac는 a c는 sin x도와 같습니다즉 여기가 sinx도에요 자 이번엔 코사인의 써 볼 거고요 코사인은이 거분의 이거죠 자 펜이 너무 두껍네요 자 요거분의 요거입니다 요거분의 요거 그러면 5a고요 oa가 1이니까 우리가 oc라고 정리가 되겠네요 따라서 여기서 oc는 코사인 x도라고 나와요 자 그러면요 길이가 뭐예요 코사인 x도입니다 자 4분원 위에서요 4분원 위에서 우리가 요런 직각삼각형을 만들어 냈을 때 요런 직각삼각형을 만들어 냈을 때 우리가 oc와 ac의 길이를 이렇게 사인과 코사인으로 조금 간단하게 표현을 할 수가 있는 거예요 그래서 우리가 이렇게 표현될 수 있구나 하는 거를 우리가 꼭 보고 가셔야 됩니다 우리가 높이는 sinx 밑변 길이는 코사인 X 자 x도가 변해도엑소가 변해도 여기가 싸인이고 코사인인 건 변하지 않아요 자 삼각형이 만약에 이렇게 생겨도 자 그림이 조금 복잡하니까 제가 하나를 좀 다시 그려볼게요 그림이 이렇게 되어 있을 때 삼각형이 이렇게 생겨도 우리가 여기를 직각으로 만들면 여기가 x도일 때 여기도 마찬가지로 코사인 x 도고 여기도 마찬가지로 사인 x다라고 하는 겁니다

자 두 번째 볼 건데요 자 우리 직각삼각형 obd에서 각 dob는 aoc와 같대요 자 우리가 그래서 여기는 어떤 직각삼각형을 잡는 거냐 요렇게 생긴 직각삼각형을 잡습니다 자 이렇게 생긴 직각삼각형에서 우리가 여기가 x고요요 직각삼각형은 지금 ob를 밑변으로 하는 직각삼각형이에요 오비를 밑변으로 하는 직각삼각형에서 ob의 길이가 1이죠 자 그러면 제가 db의 길이를a라고 잡았을 때 탄젠트 x는 5b분의 bd니까 ob분의 bd니까 1분의 bd고요 즉 bd가 탄젠트 x입니다 즉 여기 아까 a라고 써놨던게 a라고 써놨던게 탄젠트 x와 같은 거예요 여기가 탄젠트 x입니다 자 그래서 우리가 요거 삼각형을 이번에는 요렇게 만들겠습니다 자 그런데 요게 밑변인 거예요 이렇게 생긴 직각삼각형에서 여기를 이번엔 x도라고 하면요 길이가 1이기 때문에 여기가 탄젠트 x도가 된다라고 하는 겁니다 자 우리 4분원에서 사인하고 코사인을 찾을 때는요 우리가 빗변이 반지름과 같은 직각삼각형에서 찾아야 되고요 우리가 탄젠트를 찾을 때는 밑변의 길이가 1인 직각삼각형에서 찾는 겁니다 사인 코사인을 찾는 직각삼각형하고 탄젠트를 찾는 직각삼각형하고는다른 거예요 우리가 두 삼각형이 다르다는 거 꼭 같이 기억을 해주시기 바랍니다 자 넘어가서 우리가 그러면 이거를 어떻게 활용을 하는지 개념 예제를 한번 보도록 할 건데 자 반지름의 길이가 1인 4분원을 좌표평면 위에 나타낸 것이고요 삼각비의 값을 구하라고 했는데 가장 먼저 물어본 건 싸인 39도네요 자 두 번째는 코사인 39도를 물어봤어요 자 그러면 지금 39도가 여기에 있는데 39도가 여기에 있는데 사인 코사인은 어디서 찾는다고요 빗변의 길이가이 반지름과 같은이 직각삼각형에서 찾는 겁니다 자 여기가 사인 39도랑 같다 그랬죠 여기가 코사인 39도랑 같다 그랬어요 자 그러면 sin 39도랑 같은 건 요기네요 우리 여기 y축에서요 길이와 같으니까 0.6293이라고 우리가 구할 수 있겠네요 0.6293 자 이번엔 코사인 39도를 찾을 거고요 코사인 39도는요 길이와 같으니까 우리 x축 위에서 뭐랑 같아지는 거예요 0.7771과 같습니다 0.7771 자 마지막으로 세 번째로 우리 탄젠트 39도구요 탄젠트는 어디서 찾는다고요 밑변의 길이가 1인 직각삼각형에서 찾는다고 했습니다 자 요렇게 생긴 직각삼각형에서 찾아 줄 거고요요 길이가 1이니까 여기가 탄젠트 39도랑 같다 그랬습니다 자 따라서 뭐랑 같은 거예요 탄젠트 39도는요 길이니까 요거와 같아서 0.8098입니다 0.8098 자 마지막 4번인데 갑자기 각도가 달라졌어요 쌓인 51도네요 그러면 우리는 51도를요 그림에서 찾아 줘야 돼요 50일 도가 어디냐 바로 여기가51도입니다 우리가 39도 90도기 때문에 여기가 51도라고 우리가 구할 수 있고요 자 사인 51 또는 요거분의 요거니까 ob분의 5b분의 5a고요 ob의 길이가 1이기 때문에 5a와 같습니다 우리 oa는 0.7771이라고 우리가 구할 수 있죠 이렇게 되어 있습니다 자 이렇게 해서 우리 개념 예제까지 한번 풀어봤습니다

자 이렇게 우리 제일 중요한 건 싸인 코사인을 찾는 직각삼각형과 탄젠트를 찾는 직각삼각형은 다른 직각삼각형입니다 그것만 우리 꼭 기억을 해주시면 될 것 같아요 자 이번엔 0도와 90도의 삼각비의 값인데요 우리가 앞에서 30도 45도 60도에 대한 삼각비의 값을 구해봤는데 자 이번엔 0도 하고 90도를 한번 배워 볼 거예요 자 우리 4분원에서이직각삼각형 aob에서 각 aob를 x도라고 하겠대요 자 여기가 여기가 지금 aob 구요 여기가 aob이고요 각도를 x라고 할 겁니다요 각도를 x라고 하면 우리 사인 x가 ab라 그랬고 자 여기 파란색 길이가 파란색끼리가 사인x고요 여기 있는이 녹색 길이가 코사인 x입니다 그런데 만약에 x가 0에 가까워지면 자 x가 0에 가까워지면 우리 각도를 줄이겠다는 거죠 각도를 줄이면 요렇게 직각삼각형이 내려오게 됩니다 직각삼각형이 빗변이 이렇게 쭉 내려오게 되는데 자 그럴 때이 사인 X 값 sinx 값이 어떻게 되고 있어요 점점 작아지고 있죠 점점 작아지다가 우리 이렇게 0이 되겠네요 자 코사인은 코사인은 점점 커지고 있습니다 점점 커지면서 뭐랑 같아지겠어요 우리밑변 반지름과 같아집니다 따라서 우리가 쌓인 0은 0이라고 하고요 코사인 0도는 1이라고 합니다 자 우리가요 사인값과 코사인 값인데 0도에서의 사인과 코사인 값 꼭 알아두셔야 되고요

자 이번에 90도로 가면요 자 지금 이렇게 직각삼각형에서 이렇게 각도가 커지니까요 x도가 커지니까 직각삼각형이 이렇게 옮겨지고 있어요 자 그랬을 때이 사인 x가 이렇게 어떻게 되고 있어요 점점 커지면서요 반지름에 가까워지고 있죠 자 그래서 결국 반지름의 길이와 같아지기 때문에 쌓인 90도는 우리가 1이라고 하고요 자 코사인 90도는요 우리가 코사인 x는 여기를 의미하는데 지금 90도에 가까워지면 여기 점점 짧아져요 이렇게 점점 짧아지다가 우리 완전히 붙어버리는 겁니다 그래서 0이 되는 거예요 그래서 우리 사인과 코사인의0도와 90도에서의 값을 각각 기억해 주셔야 됩니다 자 이번엔 우리가 탄젠트의 0도와 90도의 삼각비의 값을 한번 구해 볼 건데 자 우리 탄젠트는요 어떤 삼각형을 찾는다 그랬어요 밑변이 1인 직각삼각형에서 찾는다 그랬습니다 그래서 제가 요렇게 생긴 직각삼각형을 기준으로 여기 각도를 x라고 하면 우리 탄젠트는요 길이와 같다 그랬죠 여기가 탄젠트 x입니다 자 그러면 우리가 만약에요 x의 크기를 0에 가까워지도록 할 거예요 자요 엑셀 크기를 줄인다는 것은 빗변이 위치가 이렇게 내려오는 거겠죠 자 이렇게 내려오다 보면 탄젠트가 어떻게 돼요 점점 작아집니다 자 작아지다 보면 우리가 x가 딱 0이 됐을 때는 탄젠트 탄젠트의 값이 바로 0이 되는 겁니다 그래서 탄젠트 0도는 0이라고 우리가 구할 수 있고요 자 만약에 x가 계속 커져요 자 x가 커지면 우리가이 탄젠트의 값이 엄청 커집니다 계속 커지는 거예요 그런데이 x가 만약에 이렇게 되면 탄젠트가 엄청 커지겠죠 자 x가 커질 때 탄젠트의 값은 어떤 1이나 뭐 어떤 2 이런 숫자로 커지는게 아니라 계속 커져요 계속 커질 수 있기 때문에 우리가 어떤 탄젠트 90도의 값은 이렇게 따로 정하지 않습니다 정할 수 없다라고 우리가 알고 있으면 됩니다 자 그러면 이번엔 아마 개념 예제 풀어보도록 할게요 자 다음을 계산하시오라고 했고요 우리가 쌓인 90도 플러스 코사인 0도인데 우리 싸인 90도는 1이고요 코사인 0도는 1입니다 두 개 더해서 2라고 계산할 수 있어요 자 2번은 탄젠트 0도 곱하기 코사인 30도면 탄젠트 0도는 0이고 코사인 30도는 2분의 루트 3이죠 자 + 4인 90도는 1이고요코사인 60도는 2분의 1이니까 계산해서 정리하면 1/2이라고 나옵니다 자 우리가 요렇게 어떤 표를 따로 그리지 않고도 우리가 외운 내용을 가지고 이렇게 바로바로 계산이 돼야 돼요 자 그럼 우리가 맨 앞에 30도 45도 60도에 대해서 삼각비의 값을 배웠고요 뒤에서 0도 90도까지 배웠습니다 우리 요거까지 다 합해서 외워야 돼요 여기까지 완벽하게 외우시길 바랍니다

자 그러면 우리는 요거 필수 예제에 풀고 이번 시간 마칠 거고요 지금 각 c가 90도인 직각삼각형에서 자 a b가 16이고요 ab가 16이고 ac가 8일 때 각 a의 크기를 구하라고 했어요 자 각도 a의 크기를 어떻게 구하냐 우리는 삼각비로 구할 수 있는 거예요 자 여기서 코사인을 쓰면요 우리가 길이를 지금 요거랑 요거만 알고 있으니까 코사인을 쓰는 겁니다 코사인을 쓰면 코사인 코사인 각 a는 우리가 16분의 8이고요 16분의 8은 1/2이죠 자그러면 우리가 코사인이 1/2로 나오는 각도는 몇 도냐 바로 60도입니다 우리가 그렇게 각도를 구할 수 있는 겁니다 자 어떤 길이비로 각도를 구할 수 있구나 요것도 우리가 느꼈으면 좋겠어요

자 여기까지 해서 우리가 오늘 배울 내용은 모두 마쳤고요 자 거듭 말씀드리지만 우리 삼각비의 값 외우는 거 정말 자유자재로 할 때까지 외워야 됩니다 자 그거 꼭 외우고 우리 다음 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 할 거고요 고생 많으셨습니다 감사합니다