[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 삼각비 - 삼각비의 대소 관계와 삼각비의 표

자 이번 시간 배울 내용은 삼각비의 대소관계와 삼각비의 표입니다 자 우리가 먼저 뭘 배울 거냐면 우리 사인 코사인 탄젠트 값이 각도 x가 커지면 어떻게 변하는지 그거를 좀 먼저 보도록 할 건데 자인 코사인이 어떻게 변하는지 먼저 볼 거예요

자 여기 삼각형 oab가 있습니다 자 삼각형 oab가 있는데 지금 여기가 직각삼각형이죠 자요 각도를 x라고 하면요 엑스토어라고 하면 우리가 지난 시간에이 반지름의 길이가 1인 4분원에서는이 ab와 500 길이를 사인 코사인으로 표현할 수 있다 그랬어요 자 여기가 사인 x도 와 같고요 여기가 코사인 x도와 같습니다 자 그랬을 때 우리가 만약에 각도 x를 키워서 요런 삼각형을 만들었다고 합시다 자 요렇게 커졌을 때 각도 x가 커졌을 때 sinx가 어떻게 변해요 사인 x가 나타내는 건요 길이고요 길이고요 길인데 점점 길이가 커지고 있죠 자 x가 커지는 동안 사인은 점점 커지는 겁니다

자 이와 반대로 코사인은 원래요 길이었는데 요렇게 됐다가 이렇게 됐다가 점점 줄어들고 있죠 자 코사인 x는 x가 커지면 점점 작아지는 겁니다 자 우리는 지금 0도에서 90도 사이에서 0도 이상 90도 이하인 범위에서만 생각을 하고 있는 거고요 사인 x의 값은 0에서 1까지 증가하고 코사인 x의 값은 1에서 0까지 감소한다라고 되어 있는 거예요 자 sinx 같은 경우는 sin 0도가 0이고 싸인 90도가 1이기 때문에 우리가 0도에서 90도까지 갈 때 0에서 1까지 점점 증가를 하는 거고요 코사인 0도는 1이고코사인 90도는 0이니까 코사인은 1에서 0까지 점점 감소하고 있는 겁니다 자 탄젠트는 어떻게 변하는지 볼 건데 우리가 탄젠트는 조금 다른 삼각형을 잡아주죠 요렇게 반지름의 길이가 1인 4분원해서이 밑변을 1인 반지름으로 잡아 주고요 이렇게 삼각형을 만들었을 때 제가 여기 각도를 x도라고 하면 x를 점점 키우면 자 삼각형이 이렇게 위로 올라가게 되는데 지금요 길이를 우리가 탄젠트 x도라고 표현을 할 수가 있어요 자 x도가 커지면 탄젠트가 어떻게 되요 탄젠트가요 길이었다가요 길이었다가요 길이었다가 자 x가 커지면 커질수록 탄젠트 x 값은 점점 커지는 겁니다 자 그러면 우리가요 밑에 있는 세 가지 내용을 볼 건데 첫 번째 자 0도에서 45도 일 때는 0도 이상 45도 미만일 때는 sinx보다 코사인 x가 크다그랬어요 자 그리고 x가 45도일 때는 사인 x와 코사인 x가 같다 그랬네요

자 요걸 먼저 볼게요 우리가 일단 지난 시간에 45도를 대입을 하면 사인 45도와 코사인 45도는 모두 1/2 같다는 것을 배웠습니다 자 그러면 45도에서 사인 값과 코사인 값이 같은데 0도에서 45도에서는 쌓이는 증가하고 코사인은 감소예요 사인은 증가해서 2분의 루트 2가 된 거고 코사인은 감소에서 2분의 루트가 된 겁니다 그래서 0도에서 45도에서는 사인보다 코사인이 크겠죠 자 그래서 이렇게 사인보다 코사인이 크다라고 부등식이 나오는 거고요 자 45도를 넘어가면 우리가 45도일 때 같았는데 si는 증가하고 코사인은 감소하기 때문에 우리 사인 값이 코사인 값보다 큰 거예요 자 코사인 x보다 사인 x가 크다라고 되어 있네요 자 우리가 탄젠트 45도가 1이란 것을 알고있어요 우리 지난 시간에 특수각에서 배웠었는데 탄젠트 45도가 1이면요 우리 sin cos 1 사이에서 변하죠 사인은 0에서 1로 증 코사인은 1에서 0으로 감소해요 탄젠트가 지금 1이면 우리가 여기 탄젠트 45도는 1이기 때문에 탄젠트 x는 코사인 x보다 항상 크다고 할 수 있고요 자 이렇게 45도에서 90도 사이일 때는 탄젠트의 값이 이제 1보다 크겠죠 45도에서 1인데 탄젠트는 증가하기 때문에 1보다 큰 값이 나오는 거예요 자 1보다 크니까 항상 사인 x보다 크게 나오는 겁니다 그래서 이렇게 탄젠트까지 같이 우리가 부등식 기억해 주시기 바랍니다

자 밑에 있는 내용은 우리가 요렇게 우리 탄젠트에 관한 내용이 나와 있고요 cd를 탄젠트 x라고 했을 때요 길이를 탄젠트 x라고 했을 때 0도 이상 90도 미만에서 x도의 크기가 커지면 탄젠트 x의 값은 0에서 하나씩 증가한다라고 되어 있습니다이를 넘어서계속 커질 수 있는 거예요 자 그럼 넘어가 보겠습니다 자 다음 네모 안에 어떤게 더 큰지 알맞은 것을 써 넣으시오라고 했고요 자 첫 번째는 사인 50도와 싸인 70도를 비교하는 거네요 사인은 점점 증가하죠 그러면 각도가 큰 애가 sin 값이 더 큰 거죠 자 반대로 코사인은요 지금 25도랑 37도인데 점점 감소하기 때문에 각도가 작은 애가 더 큰 거예요 이렇게 되는 거고요 자 3번 자인 20도와 코사인 20도를 비교하라 그랬어요 자 각도의 범위가 0도와 45도 사이에 있고요 자 그러면 이때는 코사인이 커요 사인이 커요 코사인이 더 크다 그랬습니다 그래서 코사인 20도가 sin 20도보다 큰 거예요 자 마지막 4번은 탄젠트 50도와 탄젠트 30도를 비교하라고 했는데 자 탄젠트는 점점 증가하기 때문에각도 큰 애가 더 큽니다 그래서 탄젠트 50도가 더 큰 거예요

자 그럼 넘어가 볼게요 자 이제 두 번째 내용인데 삼각비의 표입니다 자 우리가 지난 시간에 어떤 특수각에 관한 삼각비의 값을 몇 개 배워봤어요 35도 45도 60도 그리고 0도 90도까지 배웠었죠 자 여기서는요 우리가 30도 45도 60도 0도 90도를 제외하고는 우리가 직접적으로 삼각비의 값을 우리가 구할 수는 없어요 그렇기 때문에 우리가이 삼각비의 표를 활용해서 사인 코사인 탄젠트의 대략적인 값을 구할 수가 있습니다 자 삼각비 표는 0도에서 90도까지의 각을 1도 간격으로 나누어서 이들의 삼각비 값을 반올림하여 소소하를 넷째 짜리까지 나타낸 표입니다 그러니까 우리가 이런 표가 있으면 우리가 싸인값 코사인 값 탄젠트 값을 구할 수가 있는 거예요 자 예를 들어서 코사인 32도의 값을 한번 구해 볼게요코사인 32도면요 일단 각도 32도를 찾아야겠죠 자 각도 32도 여기 있네요 자 그리고 코사인 찾아야 됩니다 코사인 32도니까 코사인을 요렇게 세로줄에서 찾고요 자 32도가 나타내는 값은 여기에 있고 코사인이 나타내는 값은 여기에 있으니까 두 개가 동시에 만나는 0.84802 우리가 바로 찾고 싶은 코사인 32도의 값입니다 우리가이 표 활용하는 거는 제곱근 배울 때도 제곱근 표에서 비슷하게 활용을 했었죠 자 많이 어려운 내용은 아닙니다 넘어가 볼게요 자 그러면 이번엔 개념 예제 한번 보도록 하겠습니다 자 일단은 우리 삼각비 표를 이용하여 주어진식을 만족시키는 엑셀 값을 구하라고 했고요 자 사인 74도는 x니까 우리가 표에서 찾아주면 되겠죠 사인과 74도를 이렇게 만나는 우리 0.9613을 답으로 적어 들어가면 됩니다 자 정말 쉽죠 어려울게 없습니다 두 번째 탄젠트 75도는 x라고 했으니까 75도와 탄젠트가 만나는 3.7321이네요 x는 3.7321

자 세 번째는요 우리한테 이번에 각도를 안 줬네요 자 그래놓고 삼각비의 값을 0.2924라고 줬습니다 그러면 0.2924를 우리가이 표에서 찾아주면 되죠 자 0.2924는 코사인이고 73도니까 우리는 x를 73이라고 구할 수가 있습니다 자 이번에 같은 방식으로 0.9659를 찾아 줄 거고요 9659는 사인의 75도니까 우리는 x를 75라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 됐죠 자 그러면 우리 넘어가서 필수의 이제 풀고 이번 시간 마치도록 하겠습니다 자 각도가 0도 하고 45도 사이인데요 지금 요거를 간단히 하라 그랬어요 자 지금복잡하게 생겼는데 복잡하게 생각하지 말고요 우리가 요거 제곱근 단원에서 배운 겁니다 루트랑 제곱을 없앨 수 있는데 우리가 그 안에 들어있는 코사인 x-sinx가 양수로 나와야 되니까 절댓값을 붙여주는 겁니다 자 플러스 절댓값 사인x -1 자 요거를 계산해 주면 되고요 자 0도와 45도 사이에서는 코사인이 커요 사인이 커요 코사인이 크죠 그러면 코사인과 사인을 비교했을 때 코사인이 크니까 양수겠네요 코사인이 더 크니까 큰 거에서 작은 걸 빼면 양수입니다 자 절대값 없이 그냥 코사인 x 마이너스 사인 x라고 쓰면 되고요 자 사인 x-1인데 우리가 sinx가 작죠 자 각도가 90도보다 작으면 사인 x는 1보다 작습니다 그래서이 사인 x-1은요 우리가 음수로 나오고요 절대값이니까 - 달아서 sinx-1이라고 써주면 되겠네요 자cos - sinx - sinx + 1로 계산이 되고요 자 요거를 정리를 해주면요 우리는 코사인 x-2 사인 x + 1이라고 정리해주면 됩니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 삼각비의 대소관계 그리고 삼각비의 표까지 모두 배워 봤고요 우리가 오늘 배운 내용은 또 중요한 내용들이에요 당연히 알아야 되는 내용들이고 꼭 복습 설정하게 하고 문제도 풀어 보시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다