[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 삼각비 - 선분의 길이

자 이번 시간에 배울 내용은 선분의 길입니다 자 우리 삼각비의 활용인데요 우리 학생들이 어려워하는 단원주 또 하나가 되겠습니다 자 우리가 삼각비를 활용을 해서 우리가 모르는 길이를 구하는 단원이에요 자 그래서 우리가 삼각비를 정말 자유자재로 활용할 수 있어야 되고요 우리가 앞에서 우리가 삼각비에 어떤 특수각들 우리가 배운 적이 있죠 그것들이 좀 기억이 안 난다 그러면 그거를 좀 정확하게 우리 복습하라고 했습니다 정확하게 복습하고 여기 오셔야 돼요 자 그러면 일단은 좀 하나씩 배워보도록 하겠습니다

자 직각삼각형의 변의 길인데요 자 여기 뭐라고 써 있냐면 각시가 90도인 직각삼각형 abc에서 한 예각의 크기와 한 변의 길이를 알면 자 다른 면의 길이를 구할 수 있다라고 되어 있어요 자 그러면 제가 이렇게 직각삼각형을좀 하나 그려 볼게요 직각삼각형을 그려놓고 여기를 c라고 하고 여기를 a라고 하고 여기를 b라고 할게요 자 만약에요 길이가 주어져 있어요 만약에요 길이가 3이라고 주어져 있다고 할까요 자 그리고 우리가요 각도에 대해서 사인 코사인 탄젠트를 알고 있다고 합시다 자 예를 들어서 사인 a는 5분의 3이고 코사인 a는 5분에서 하고 탄젠트 a를 4분의 3이라고 알고 있으면 우리가이 각도에 대해서 삼각비의 값을 모두 알고 있으니까요 길이와요 길이를 모두 구할 수 있는 겁니다 제가이 길이를 b라고 할 거고이 길이를 c라고 할 건데요 자 여기서 sina를 쓰면 c분의 3이죠 그러면 sina가 5분의 3이라 그랬으니까 우리는 c를 5라고 구할 수 있는 거예요 자 여기서 코사인 a를 쓰면요 c분의 b고 우리 c는 5라고구했고이 5분의 b가 코사인 a 값 5분의 4와 같으니까 b는 4라고 나오는 거예요 자 이런 식으로 우리가 삼각비를 가지고 다른 면의 길이를 구할 수 있는데 자 제일 중요한 건 이겁니다 만약에요 길이를 아는데이 길이를 구하고 싶어요 그러면 2변과 이변 사이의 관계는 우리가 이 각도에 대해서 사인이죠 그래서 사인을 활용해서 구해야 된다는 거 우리가 그거를 떠올려야 돼요 자 만약에 이 각도를 알고 있고 여기를 알고 있는데 여기가 궁금해요 그러면 이거와 이거의 관계인 탄젠트를 쓰는 겁니다 탄젠트를 얘와 얘의 관계인 탄젠트를 자 이렇게 우리가 상황에 맞춰서 어떤 걸 쓸지 끝냈을지 코사인 했을지 탄젠트를 쓸지 우리가 그거를 판단할 수 있어야 돼요

자 그러면 개념인지 한번 직접 풀어 볼게요 자 직각삼각형 abc에서 XY 값을 구하라고 했고요 지금 여기 각도가 30도라고 구해져 있는데 자 코사인30도를 쓰면 우리가 뭘 구할 수 있는 거예요 코사인 30도는 얘와 얘의 관계니까 우리가 코사인 30도를 통해서 x를 구할 수 있는 겁니다 자 cos 30도는 6분의 x고요 코사인 30도 값은 1/2√3이죠 자 따라서 양변이 6을 곱하면 x는 3루트 3이라고 계산이 됩니다 자 y를 구하기 위해서는요 우리가이 각도에 대해서 예를 알고 있고 얘를 구하는 거니까 사인을 쓰는 거예요 자 sin 30 또는 6분의 y죠 자 그러면 사인 30도는 2분의 1이라고 우리가 알고 있으니까 y는 3이라고 구할 수 있는 겁니다 자 됐나요 자 이번엔 2번 문제 한번 보도록 할게요 자 이번에는 45도라고 주어져 있죠 자 45도라고 주어져 있는데 지금 x를 구할 거고요 여기 8이 주어져 있습니다 그러면 얘와 얘의 관계는 우리가 코사인으로 구할 수 있죠 자 따라서 코사인 45도는x분의 8이고요 코사인 45도는 2분의 루트 2와 같죠 자 양변의 x를 곱해주면요 다른 2분의 루트 2x고요 이거를 x에 관해 계산을 해주면 우리가 4루트 2라고 8루트 2라고 발 루트 2라고 계산을 할 수가 있습니다 자 이번에 y를 구할 건데 우리 8을 알고 있고 y를 구할 거예요 자 여기 45도니까 탄젠트를 쓰는 겁니다 자 그러면 탄젠트 45도는 8분의 y고요 탄젠트 45도의 값은 1이죠 따라서 우리는 y 값을 8이라고 구할 수 있습니다 자 여기까지 됐나요

자 그러면 넘어가 보도록 할게요 자 개념 예제 하나 더 볼 건데 직각삼각형 abc에서 XY 값을 구하라고 했어요 자 그러면 우리가 지금 문제에서 37도라고 나와 있는데 우리가 37도의 관해서 어떤 사인값 코사인 값 탄젠트 값을 문제에서 주고 있는 거예요 자 이걸 활용해서 구해 줄 거고요 자 x를구한다고 생각을 해 봅시다 자 x를 구할 건데 우리요 길이를 알고 있어요 자 무슨 관계를 활용해야 돼요 코사인을 써야 되는 거죠 자 코사인 37도는 10분의 x고요 코사인 37도가 0.8이라고 했으니까 우리 x를 8이라고 구할 수 있겠네요 자 이번엔 사인 37도를 할 겁니다 왜 사인을 쓰겠어요 여기가 10이고 우리가 모르는게 y니까 얘와의 관계는 사인이잖아요 그래서 사인 37도를 통해서 우리가 구할 수 있고요 10분의 y는 사인 37도 0.6이니까 우리 y는 6이라고 구할 수가 있습니다 자 이번엔 두 번째 문제 한번 풀어보도록 할게요 자 이번에는 53도가 주어져 있네요 자 그런데 53도는 우리가 사인 코사인 탄젠트 모르지만 우리가이 53도를 활용해서 여기가 90도니까 90도와 53도면 여기가37도죠 그래서이 37도를 활용해서 사인 코사인을 구해야 되는 겁니다 자 그래서 여기서 코사인 코사인 37도를 통해서 x분의 20을 쓸 수 있고요 코사인 37이 0.8 즉 10분의 8이니까 우리가 양변의 x를 곱하면이 집은 10분의 8x고요 요거는 5분의 4x죠 5분의 4x니까 x 값은 25라고 우리가 구할 수 있습니다 자 그래서 우리가 여기가 이제 25라고 우리가 구한 거고요 x는 25라고 구한거고 이번에 y를 구할 건데 자 y를 구하기 위해서 자 이거를 활용할 거고요 얘와 얘의 관계는 뭐예요 탄젠트죠 탄젠트 37도가 20분의 y입니다 자 탄젠트 37도는 0.75라고 나와 있고요 우리가 y를 계산을 해주면 15라고 구할 수가 있습니다

자 여기까지 됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 이번에 일반 삼각형의 변의 길인데요 자 우리가 여기서 조금 어려워지는데 우리 삼각비는 직각삼각형에서만 쓸 수가 있어요 정의가 직각삼각형으로 되어 있기 때문에 직각삼각형에서만 쓸 수 있었고 우리가 앞에서 구한 길이들도 모두 직각삼각형에서 구한 겁니다 자 그러면 일반 삼각형에서는 즉 직각삼각형이 아닌 삼각형에서는 어떻게 구해주냐 꼭지점에서 수선을 그어서 직각삼각형을 만들어내는 겁니다 자 우리가 직각삼각형을 만들어 줘야 돼요 자 보조선을 활용을 하는 겁니다 자 보조선을 활용해서 직각삼각형을 만들어 변의 길이를 구할 거예요 자 그럼 밑에 개념 유지 바로 볼 건데 지금요 삼각형에서는 우리가 사인 코사인 탄젠트를 못 써요 직각삼각형이 아니기 때문에 그래서 어떻게 한다고요 우리가 수선을 내려서 수직인 성분을 그어서직각삼각형을 만든다고요 자 전 a에서 bc의 점 a에서 bc의 수선을 내릴 겁니다 자 이렇게 내려야 우리가요 30도를 활용을 할 수가 있겠죠 자 그러면 우리가 여기 길이가 10이기 때문에 우리가 지금 구하는 거는 AC 길이죠 자 이거 한 번에 구하려고 하면 안 됩니다 하나씩 구하는 거예요 저는요요 AC 길이를 구하기 위해서요요 직각삼각형의 변 길이를 찾아 줄 거고요 일단은 요거를 a라고 놓고 구할 거고 여기를 b라고 놓고 구할 겁니다 자 그런데 a는 우리가 구할 수 있겠네요 자 요거와 요거의 관계니까 sin 30도를 통해서 sin 30도는 10분의 a구요 1/10가 2분의 1이니까 a는 5라고 구할 수 있어요 자 여기를 구했습니다 자 그러면 우리가 이제 비기리만 찾아서 우리 피타고라스를 쓰면 우리 구하고 싶은이 x 길이를 찾을 수 있겠네요 자 그런데 b를 찾기 위해서 뭐를 찾아야 되냐 여기를 찾는 겁니다 우리 b도 한 번이고 하는게 아니에요 여기를 먼저 구하겠습니다 자 여기를 c라고 하면 우리 코사인을 통해서 구할 수 있고요 코사인 30도는 10분의 c인데 이게 2분의 1 루트 3과 같죠 따라서 c는 5√3입니다 자 이렇게 c를 구하면요 여기가 7루트 3이고 여기가 5루트 3이니까요 b의 길이를 우리는 2루트 3이라고 구할 수 있는 거예요 자 그러면 x 구할 때는 피타고라스만 써주면 됩니다 x 제곱은 5의 제곱 플러스 2루트 3의 제곱이고요 25 + 12니까 37이어서 x값을 루트 37이라고 구할 수 있는 거예요 자 우리가 직각삼각형 만들어서 구해줘야 되고요 한번에 구하려고 하면 안 됩니다 우리가 구하고 싶은 그 길이를 구하기 위해 뭘 찾아야 되는지 뭘 찾아야 되는지 그걸 먼저 찾아봐야돼요

자 넘어갈게요 개념에서 한번 더 볼 거구요 다음 그림과 같은 삼각형 abc에서 a씨와 bc의 길이를 각각 구하라고 했습니다 자 그러면 얘가 지금 직각삼각형이 아니에요 자 각도가 45도랑 75도가 있는데 만약에 여기서 이렇게 수직인 선분을 만들어내면 뭐가 문제냐 우리가 75도에 대한 삼각비 값을 몰라요 그래서 75도가 포함된이 직각삼각형을 만들어도 우리가 어떤 길이 계산을 할 수가 없는 겁니다 그래서 우리는 바로이 45도가 45도가 포함된 직각삼각형을 만들어 줘야 되기 때문에 자 여기서 이렇게 수직인 선분을 만들어 주는 겁니다 자 우리는 45도에 싸인 코사인 탄젠트를 아니까 45도를 활용해 줘야 되는 거예요 자 그러면이 상태에서 우리가 구하는 길이는요 길이와 요 길이와요 길이고요 일단은 우리가이45도라는 것을 활용해서 여기 제가요 점을 d라고 했을 때이 bd의 길이와 AD 길이를 구할 수가 있습니다 자 여기를 a라고 하면요 우리가 코사인 45도를 통해서 구할 수 있고요 코사인 45도는 6루트 2분의 a고 요게 2분의 루트 2와 같으니까 우리는 a 값을 여기라고 구할 수 있어요 자 따라서요 길이가 6이고요 우리 45도에서 여기도 45도기 때문에 우리 직각 이등변삼각형이어서 여기도 여기라고 구할 수 있겠죠 자 그러면 이제요 삼각형은 어떻게 구하냐요 길이랑요 길이는 어떻게 구하냐 하면 우리 여기 지금 처음에 75도라고 줬죠 근데 여기가 45도니까 우리가요 각도를 몇 도라고 구할 수 있는 거예요 30도라고 구할 수 있는 겁니다 자 처음에 75도가 주어져 있을 때는 우리가 어떤 사인 코사인 탄젠트를 활용하지 못하지만 45도와 30도로 쪼개서 우리가 활용을 해줄수가 있는 거예요

자 그러면 제가 요번에는요 길이를 b라고 잡을 거고요요 길이를 c라고 잡도록 하겠습니다 자 그러면 우리 6과 b를 가지고 b값을 구해 줄 거구요이 관계는 탄젠트입니다 탄젠트 30도는 6분의 b고요 얘가 3분의 루트 3이니까 우리 b는 2루트 3이라고 구할수 [음악] 됐나요 자 그러면넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 삼각형의 높이고요 우리가 앞에서 배웠던 내용하고 조금 비슷합니다 자 삼각형이 높이를 구할 때는 두 개의 직각삼각형에서 주어진 변의 길이를 탄젠트를 이용하여 나타낸다고 했어요 자 우리가 직각삼각형을 만들어내는 건 항상 똑같습니다 만들어내서 탄젠트를 이용할 거예요 자 1번 먼저 한번 바로 개념미즈 보도록 할게요 자 우리 Ah 길이 구하는 거고 지금 각도가 이렇게 여기 각도 여기 각도 주어져 있고이 길이를 10이라고 주어져 있어요 자 그런데 지금 12 어떤 직각삼각형의 변의 길이가 아니에요 그래서 우리가 이거를 삼각비로 활용을 하지 못합니다 그래서 어떻게 하냐 우리가 직각삼각형의 변의 길이로 나눠주는 거예요요 길이를 a라고 할 거고요요 길이를 b라고 할 겁니다 자 그러면 우리가 a+b는 a+b는 10이라고 쓸 수 있죠 자 그리고 우리가 h를a에 관해서 써주면 자 a와 h의 관계는 a분의 h는 a분의 h는 탄젠트 60도죠 탄젠트 60도니까 요거는 루트 3이에요 즉 a분의 h는 루트 3이고 자 우리가요 식을 활용하기 위해서 요식을 활용하기 위해서 a는으로 고쳐 줄 거고요 양변에 a를 곱해주면 h는 루트 3이고 자 a는 루트 3분의 h라고 정리가 되죠 자 3분의 루트 3 h라고 쓰겠습니다 자 이번엔 b와 h의 관계를 쓸 거고요 b와 h의 관계도 45도에서는 탄젠트죠 자 그래서 탄젠트를 활용을 해주는 겁니다 2분의 h는 우리가 탄젠트 45도구요 탄젠트 45도는 1입니다 따라서 h는 b라는 결론을 얻어 내릴 수가 있어요 그러면 a는 루트 자 a는 3분의 루트 3의 h와b는 h를 여기에 대입을 해 줄 거고요 요식이 어떻게 변형이 되냐 3분의 루트 3h + h가 10입니다 자 h로 묶어주면요 3분의 루트 3 + 1의 h는 10이고 3분의 루트 3 + 3의 h는 10이니까 h는 10 x 루트 3 + 3분의 3이라고 정리가 됩니다 자 분모 분자의 유리화를 위해서 3 - 루트 3을 곱해 줄 거고요 그러면 자 분모는 6이 되고요 분자는 30에 3-루트 3이 됩니다 그러면 약분했을 때 5의 3 - 루트 3이라고 정리가 되죠 자 이렇게 우리가 h를 구할 수 있어요

자 조금 어렵죠 자 조금 어려웠는데 이걸 한번 다시 정리하자면 우리가 h를 구하기 위해서 우리가상급비를 활용을 해줘야 되는데 주어진 길이가 직각삼각형의 변의 길이가 아니라 우리가 직각삼각형 변의 길이로 나눠준 거예요 a와 b로 나눠줬고요 자 요거를 다 h에 관해서 표현을 해준 겁니다 h를 구해야 되니까 요렇게 정리된 h는 루트 3에 의해서 자 a는 3분의 루트 3h로 바꿔서 a를 대입해줬고요 우리 요것도 b를 대입을 해줬죠 그래서 h에 관한 식을 만들어서 정리를 해준 겁니다 자 연습이 조금 필요하고요

자 일단은 2번 한번 보도록 할게요 자 2번 보면요 길이가 지금 8이고요 길이가 지금 8이고 여기가 30도 여기 120도네요 자 그런데 h를 지금 여기를 구하라고 했습니다 여기가 h예요 자 그러면 여기서 주어진 팔도 우리가 직각삼각형의 어떤 변의 길이가 아니기 때문에 직각삼각형 변의 길을 만들기 위해서 제가요 길이를 a라고 할 거예요 자 그러면 우리가 8+a가요렇게 직각삼각형의 이제 밑변 길이가 됐죠 자 8+a랑 h를 활용하면요 8+a가 탄젠트 30도 하고 같아서 탄젠트 30도는 3분의 루트 3입니다 자 이번엔요 a와 h도 어떤 직각삼각형의 변의 길이기 때문에 탄젠트를 쓸 건데 자 탄젠트를 쓸 건데 각도를 모르죠 지금 여기 각도를 근데 우리가 60도라고 구할 수 있습니다 자 즉 a분의 h는 우리가 탄젠트 60도로 구할 수 있고요 반대쪽 60도는 루트 3입니다 자 우리 두 개를 연립해서 h값을 구해주면 되고요 h는 3분의 루트 3의 8+a와 같고 밑에 식은 h는 루트 3a와 같습니다 그래서 두 개를 같다고 놓으면요 3분의 루트 3의 a+8은루트 3a와 같으니까 루트 3 없애고 양변에 3을 곱해주면 요렇게 되고요 우리가 a값을 4라고 구할 수가 있습니다 자 그러면 여기다가 대입을 해서 여기다가 대입을 해서 우리 h를 4루트 3이라고 구할 수 있겠네요 자 우리가 이렇게 자유자재로 삼각비를 활용할 수 있어야 됩니다 구해줘야 되는 길이 어떻게 찾을 수 있는지 항상 생각하고 좋아진 각도 어떻게 활용할지 생각하고 직각삼각형 어떻게 활용할 건지 그것들을 계속 고민해 봐 가면서 우리가 문제를 많이 풀어 주면 됩니다

자 그러면 우리가 넘어가서요 이제 필수 예제 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 각도가 c인 직각삼각형 abc에서 지금 여기 각도를 32도라고 적고요 자 ac를 x라고 했을 때 다음주 옳은 것을 고르라고 했습니다 자 AB 길이를 구하라고 있고요 우리 AB 길이를 a라고 하면요 우리가 a와 x의 관계식은 어떤 걸로 구할 수 있어요 a와 x의 관계식은사인 32도로 구할 수 있습니다 사인 32도는 사인 32도는 a분의 x고요 요거를 정리하면 a는 sin 32도 x라고 구할 수 있네요 자 그런데 우리가 구하는 건 코사인을 활용했고 여기 지금 58도라고 나와 있네요 그러면 다른 방법으로 구이 둬야 되는 겁니다 자 여기 32도니까 여기를 58도라고 구할 수 있죠 자 그럼 여기서 코사인을 쓰는 겁니다 코사인 58도는 a분의 x죠 그러면 a는 우리가 코사인 58도 분의 x라고 구할 수가 있습니다 그래서 우리가 ab를 표현하는 거는 이렇게도 표현을 할 수 있고 이렇게도 표현을 할 수 있죠 자 1번은 잘못됐네요 자 2번은 우리가 지금 올바르게 표현되어 있죠 우리가 ab를 표현했더니 이렇게 표현이 됐습니다 자 2번은 우리가 하나 답으로 골라 주면 되고요 자 이번에 bc를 고를 겁니다bc를 구할 겁니다 자 bc를 구할 건데 제가 bc기를 이번에는 b라고 잡아 볼게요 그러면 32도를 기준으로는 우리가 b와 x의 관계는 탄젠트로 구할 수 있고요 탄젠트 32도는 b분의 x니까 b는 탄젠트 32분의 x라고 구할 수가 있습니다 자 이번엔 58도를 기준으로 한번 구해 볼 거고요 우리가 탄젠트로도 구할 수 있죠 탄젠트 58도는 x분의 b니까 우리가 b는 x 탄젠트 58도라고 구할 수 있습니다 자 그럼 3번 4번에 지금 다 답이 없죠 우리가 x 탄젠트 58인데 x 코사인 32와 같아질 수는 없어요 자 여기도 탄젠트 32분의 x인데 사인 58분의 x라고 할 수가 없습니다 하지만 우리 맨 마지막에 있는이 BC x 탄젠트 58도는 우리가 여기서 구한 결과와 똑같죠 그래서 답을5번까지 같이 체크해 주면 됩니다 그래서 답은 2번하고 5번이에요

자 넘어가 볼게요 자 이번엔 직각삼각형 ab와 ac의 길이가 같다고 했고 코사인 a가 5분의 4래요 자 요거에 대한 우리가 코사인을 알고 있습니다 그러면이 각도가 포함된 직각삼각형을 만들어 줘야 되고요 그러면 우리가 선분을 어떻게 만들어 주면 될까요 이렇게 만들어 주면 되죠 그러면 이렇게 생긴 직각삼각형이 나왔으니까 우리가 코사인 a를 통해서요 길이를 구할 수 있겠네요 자 15분의 a는 코사인 a 즉 5분의 4와 같구요 a 값을 뭐라고 찾아낼 수 있어요 12라고 찾아낼 수가 있습니다 자 이번엔 그러면 제가이 길이를 b라고 놀 거고요 우리가 피타고라스를 통해서 구할 수가 있죠 b² + 12의 제곱은 15의 제곱이고요 b² + 144는 225니까 우리가 b제곱을 뭐라고 구할 수 있냐80일이라고 나와서 b는 9라고 나옵니다 즉요 길이는 9예요 자 우리 구하는 건 BC 길이고요 그러면 bc가 포함된 직각삼각형을 또 찾는 겁니다 이번에이 직각삼각형에서 찾아줄 거고요 우리 여기가 오라는 것을 알고 있고 여기가 12니까 여기를 뭐라고 찾을 수 있어요 15에서 12를 빼면 3이 나오죠 그래서 우리 최종적으로 구하는이 BC 길이를 x라고 놓고 피타고라스의 정리를 써주면 x²은 3의 제곱 플러스 9의 제곱이니까 9+81이어서 90이 나옵니다 따라서 루트 90이고요 정리해주면 3루트 10이라고 구할 수 있겠네요

자 이렇게까지 모두 마쳤습니다 자 우리 오늘 배운 내용들 삼각비를 이제 삼각형에서 활용을 해서 여러가지 길이를 구해주는 것들인데 자 우리가요 내용들 정말 복습 많이 해주셔야 되고요 문제도 많이 풀어 주셔야 됩니다 우리가 어떤 길이를 구하기 위해 어떤 삼각형을 쓸 거고어떤 각도를 쓸 거고 어떤 길이를 쓸 건지 우리가 요거를 초점을 맞춰서 연습을 해주시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 할 거고요 고생 많으셨습니다 감사합니다