[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 삼각비 - 다각형의 넓이

자 오늘 배울 단원은요 다각형의 넓이입니다 자 우리가 삼각비를 활용해서 어떤 여러가지 도형들의 넓이 구하는 공식을 한번 배워보도록 할 거예요

자 가장 먼저 나오는 건 우리가 삼각형의 넓이고요 삼각형 abc에서 두배의 길이 b씨와 그 게임과 a의 크기를 알 때 넓이를 구할 수 있다라고 나와 있는데 자 우리가 이렇게 생긴 삼각형 abc에서 자 요 길이를 c라고 할 거고요요 길이를 b라고 할 거고 자 끼임각입니다이 각 a는요이 변비와 변 C 사이에요 각도를 말하는 겁니다 자이 각 a를 알 때 우리는 삼각형 넓이를 구할 수 있고요 우리가 일단은 가게의 크기가 예각인 경우에 2분의 1 bc사이데이로 넓이를 구할 수있다라고 나와 있습니다 자 그러면 우리가 지금까지 삼각형은 1/2 곱하기 밑변 곱하기 높이로 넓이를 구했었는데 우리가 이제 이런 공식으로도 넓이를 구할 수 있게 되는 겁니다 자 이 공식이 어떻게 나왔냐 자 제가 여기 있는 b를 밑변으로 생각을 할게요 이거를 밑변이라고 생각을 할 거고 그러면 높이가 요게 높이죠 자 높이를 h라고 했을 때 우리가 삼각형 넓이를 1/2 곱하기 bh로 구할 수 있는데 우리가 sina는 sina는 c분의 h니까 h를 c사인 a라고 구할 수 있고요 그거를 대입하면 1/2 PC sina라고 우리가 생각해 넓이 구하는식이 변형이 됩니다 그래서 우리가 이렇게 삼각비를 활용해서 넓이 구하는 공식을 알아 둬야 됩니다

자 중요한 건요요 각도 a는요이 변 의 끼인각이에요 아무 각도나 집어넣으면 안 되고요 이변과 이변 그리고 그 두 변 사이에 끼인각을 집어넣어서 우리가 삼각형 넓이를 구해줘야 됩니다 자 이거는 예각인 경우고요 만약에 가까이가 둔각이라면요 자 b가 여기 꼬여 지금 변씨가 여기 이렇게 있습니다 이렇게 있을 때 자 끼인각은 여기인데 지금 요긴각이 90도가 넘어가요 이렇게 넘어가는 둔각인 경우에는 우리가 sina를 계산하지 못하죠 자 이럴 때는 어떻게 하냐면 우리가 마찬가지로 요거를 밑변으로 잡고요 요거를 밑변으로 잡은 경우에이 삼각형의 높이는 요렇게 된게 높이죠 이거를 h라고 했을 때 우리가 높이 h를 구하기 위해서는 c와 h의 관계를 쓰겠네요 자 그거는 뭐예요 이게 a면 여기 180 - a에 대해서 우리가 삼각비 사인을 써주면 됩니다 자 h는 우리가 c사인 180 - a라고구할 수 있기 때문에 우리가 요거를 활용해서 넓이 2분의 1 곱하기 bc가 1/2 * B 곱하기 h가 1/2 bh가 1/2 BC 사인의 180 - a라고 정리가 되기 때문에 이렇게 넓이를 구할 수 있습니다 자 둔각인 경우에는 각도를 그대로 집어넣으면 안 되고 180에서 뺀 각도를 집어넣어서 넓이를 구해주면 됩니다

자 개념예제 봅시다 자 삼각형 넓이 구하는 문제고요 1번 먼저 보면 지금 주어진게요 길이가 5라고 주어져 있고요 여기 길이는 8이라고 주어져 있고 그 사이에이 각도가 60도라고 주어져 있습니다 자 그러면 우리가 삼각형 넓이를 구하기 위해서는 1/2 곱하기 변의 길이 변의 길이에 그 사이에 끼인 각도이 60도의 사인 값을 넣어주면 되죠 사인 60도를 넣어주면 됩니다 자 얼굴을계산을 해주면요 sin 60도가 2분의 1 루트 3이기 때문에 이렇게 약분을 해주면 우리가 10 루트 3이라고 구할 수가 있겠네요 자 1번의 넓이는 1루트 3이고요 자 2번을 볼 건데 자 이번에도 어떤 변요 3이라는 변과 여기 7이라는 변의 끼인각이 150도라고 주어져 있어요 자 150도라고 주어져 있으면 우리가이 150도를 그대로 활용하면 안 된다 그랬어요 자 우리 180도에서 150도를 빼서 우리가 30도를 가지고 넓이를 구해주면 됩니다 자 2분의 1 곱하기 3 곱하기 7 곱하기 sin 30도를 계산을 해주면 되고요 우리 사인 30도가 2분의 1이니까요 넓이는 4분의 21이라고 구할 수가 있습니다

자 우리 뒤로 한번 넘어가 보도록 하겠습니다 자 이번엔 사각형의 넓이고요 먼저 우리 평행사변형 넓이 구하는 거 한번 보도록 하겠습니다 개인사변형abcd에서 이웃하는 두 변의 길이가 ab고 극기인가 각기가 얘가 될 때 넓이 s는 ab사인 b로 우리가 구할 수 있다고 나와 있네요 자 이게 왜 그러냐 지금요 길이가 a구요요 길이가 b고 여기 각도가 b인데 우리가 요렇게 평행사변형을 쪼개겠습니다 자 이렇게 쪼개면 우리가 위에 있는요 삼각형과 밑에 있는요 삼각형이 면적이 같죠 자 두 삼각형이 같기 때문에 우리가요 삼각형 넓이의 두 배를 해주면 되는 겁니다 자요 삼각형 넓이의 두 배면 2분의 1 곱하기 AB 싸인 b의 두 배죠 그래서 a b sinb가 나옵니다 ab사인 b가 나오는 거예요 넓이가 이렇게 되는 거죠

자 두 번째 요번에는 그냥 평범한 사각형 abcd에요 우리가 어떤 평행사변형이나 마름모 요런 걸 말하는게 아니고요 그냥 사각형 abcd에서 두 대각선의 길이가ab이고 자 대각선의 길이가 a랑 b에요 요렇게 a고 요렇게가 b입니다 그리고 두 대각선이 이루는 각 x가 예각일 때 자 요게 예각일 때 우리가 넓이는 이렇게 구한대요 자 이거는 어떻게 나온 거냐 우리가 평행사변형을 만들어 줄 겁니다 자 빅이랑 평행한 선을요 요렇게 생긴 bd랑 평행한 선을 이렇게 그어줄 거고요 이렇게 점씨를 지나는 평행한 선도 그어줄 겁니다 자 이번엔요 a씨와 a c와 평행한 선을 여기다가 그어 줄 거고 그리고 이쪽 전비를 지나는 평행한 선도 그어줄 거예요 자 그러면 우리가 지금 사각형이 하나 보이죠 자 그런데 우리가 여기 있는 a와 여기에 있는 a는 길이가 같아요 여기도 a랑 같습니다 이번에는 여기가 b랑 같고요 여기도 b랑 같죠 자 우리가 평행하게 이동시켰기 때문에이바깥쪽이 있는이네 점이 만들어내는 사각형이 평행사변형입니다 요게 평행사변형이고 우리가 각 a랑 각 변의 길이가 a랑 b죠 a랑 b고 지금 두 변의 길이가 이루는 각이 x였으니까 요게 그대로 여기도 x인 겁니다 그러면이 바깥쪽에 있는이 평행사변형이 넓이는 우리가 1번에 의해서 AB sinx라고 구할 수 있고요 우리가 구하고 싶은 사각형 abcd 넓이를 보면 우리가 딱 절반이 나옵니다 우리가요 삼각형 넓이 와요 삼각형 넓이가 낮고요 삼각형 넓이요 삼각형 넓이 같고 여기 넓이 여기 넓이 여기 넓이 여기 넓이가 같아서 ab사인 x의 1/2을 해준게 우리 사각형 abcd의 넓이가 됩니다 자 그래서 우리가 여기 나오는이 두 가지의 공식 요거하고 요거를 기억을 해 두시기 바랍니다

자 넘어가겠습니다 우리 개념여자 볼 거고요 우리 앞에서배운 공식 그대로 활용해 주면 되는데 지금 첫 번째를 불러고 하면 평행사변형의 넓이를 구하는 건데 우리가 평행사변형 넓이를 s라고 하면 a b 싸인 x로 구할 수가 있다고 했는데 지금 보면 가운데에 각도가 120도죠 자 그런데 여기가 120도면 여기가 몇 도예요 우리 요거랑 요거도에서 180도 나와야 되니까 60도라고 나와야 되죠 자 그랬을 때 여기 길이가 3이니까요 길이도 3이에요 그러면 우리가 3과 5루트 3의 곱과 요기인가 60도의 사인 값을 모두 곱해서 넓이를 구할 수가 있는 겁니다 3 곱하기 5루트 3 곱하기 sin 60도로 구해주면 되고요 15 루트 3 곱하기 2분의 루트 3이니까 우리가 넓이를 2분의 45라고 계산할 수 있습니다 자 밑에 있는 개념 예제는요 우리가 평범한 일반적인 사각형이고요 이런 경우에 지금 대각선의 길이가 주어져있고 그 대각선에 끼인각이 60도라고 주어져 있습니다 자 이 넓이를 s라고 하면 우리는 1/2 곱하기 대각선 곱하기 대각선 곱하기 sin의 인각 이렇게 계산을 해 주시면 됩니다 자 이렇게 되니까 우리가 35 곱하기 2분의 루트 35고요 2분의 35 루트 3이라고 정리가 됩니다

자 넘어가서요 이번에 필수 예제에 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 삼각형 넓이를 구하라고 했어요 우리가 삼각형 넓이 구하는 공식은요 2분의 1 BC 사인 a라고 외웠는데 우리가 그 각도 a는 2인각이어야 돼요 끼인각이 b와 C 사이에 끼인각이어야 되는데 지금 여기가 8이고 여기가 8이면 지금 안 주어져 있죠 자 우리요 30도를 그대로 이용하면 안 되는 겁니다 그래서 우리는 여기 각도를 구해줘야 되고요 제가이 각도를 어떻게 구할 거냐 지금 변의 길이가 파라고8이라고 주어져 있어요 그러면 아 이등변삼각형이라는 것을 알 수 있죠 그러면 여기가 30도구요 우리가요 각도를 120도라고 구할 수 있습니다 자 그런데 각도가 둔각이니까 우리가 120도를 60도로 바꿔서 공식을 활용해 주면 되고요 1/2 곱하기 8 곱하기 8 곱하기 사인 60도로 계산을 해주면 됩니다 자 이렇게 4구요 32 곱하기 사인 60도는 2분의 루트 3 16 루트 3이라고 계산이 됩니다 자 이제 넘어가 볼게요 자 마지막 필수 예제구요 사각형의 넓이를 구하라고 했습니다 자 그런데 사각형이 지금 무슨 사각형이에요 어떤 평행사변형이나 마름모나 그런 사각형이 아니죠 자 이런 경우에는 우리가 사각형을 쪼개야 됩니다 사각형뿐만 아니라 우리가 어떤 다각형의 넓이를 구하는데 우리가 일반적인 방법으로 구할 수 없을 때는이 다각형을 삼각형과 사각형으로 쪼개서 구해줘야 돼요 자 이거는 지금 우리가 삼각형 두 개로 쪼개줄 거고요 이렇게bd를 이어주면 우리가 여기 삼각형 abd와 삼각형 bcd로 넓이를 구할 수가 있습니다 자 삼각형 abd는요 넓이를 2분의 1 곱하기 4로 구해줄 수 있겠죠 자 이렇게 사인 45도까지 구해주면 됩니다 자 싸인 45도는요 우리가 여기 지금 요만큼이 14 루트 2구요 사인 45도는 2분의 루트입니다 계산해서 정리해주면 넓이는 14라고 구할 수가 있어요 자 이번에 삼각형 bcd의 넓이를 구할 거고요 1/2 곱하기 우리가 4 곱하기 루트 3 곱하기 요거 사인의 집어넣으려고 했더니 각도가 둔각이죠 그럼 각도를 우리가 180도에서 빼서 60도로 바꿔주면 됩니다 2분의 1 곱하기 4 곱하기 루트 3 곱하기 sin 60도죠그러면이 루트 3 곱하기 Sin 60 또는 2분의 루트 3이니까 계산하면 3이라고 나오네요 따라서 우리가 구하고 싶은 넓이는 14와 3을 더한 17이 바로 답입니다

자 여기까지 해서 우리가 오늘 배울 내용 모두 마쳤구요 우리 삼각비 활용 문제는 이런 기본적인 개념들 완벽하게 숙지된 상태로 다양한 도형 문제를 푸는 것이 정말 중요합니다 그래서 우리가 여기까지 학습 모두 하고 공식 꼼꼼하게 정리하고요 우리 많은 문제들 보시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다