[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 원의 성질 - 접선의 성질

자 오늘 학습할 내용은 접선의 성질입니다 우리가 원해서 어떤 접근을 그었을 때 생기는 성질들을 볼 건데 자 여기에요 원이 하나 있다고 할게요 이렇게 생긴 중심이 5인 원이 있다고 합시다 자 그리고 원밖에 한 점이 있어요 원밖에 한 점 p가 있다고 하면 이전 p에서 e1o의 그을 수 있는 접선은 이렇게 생긴 접선 하나랑 자 접선을 좀 다시 긋도록 할게요 이렇게 생긴 접선 하나가 이렇게 생긴 접선 하나 이렇게 해서 두 개가 존재하게 되죠 자 접선이 두 개 존재하게 됩니다 자 그러면 우리가 어떤 삼각형을 만들어 낼 수가 있어요 여기 접점을 a 여기 접점을 b라고 하면삼각형 pa5와 삼각형 pbo를 만들어 낼 수가 있습니다

그런데 이 두 삼각형은 합동이에요 삼각형 pao와 삼각형 pbo는 합동입니다 자 무슨 납득이냐 일단은 ao의 길이와 ob의 길이는 둘 다 원의 반지름이기 때문에 동일하구요 op의 길이는 두 삼각형이 지금 공통으로 가지고 있는 길이죠 자 그래서 똑같고 지금 접선을 긋는다는 것은 여기가 수직이라는 소리죠 우리가 항상 접점에서 수직이 생기는 겁니다 자 여기도 수직인 거예요 그래서 rhs 합동입니다 자 그러면 우리가요 삼각형의 합동이기 때문에 바로 pa의 길이와 pb의 길이가 동일하게 되는 겁니다 자 그래서 우리가요 pa와 pb를 접선의 길이라고 하고요 두 길이는 동일합니다 자 우리가이 그림에서 뭘 봐야 되냐 바로이합동인 두 삼각형을 봐야 되는 거예요 우리가 원밖에 한 점에서 접선 2개를 그었을 때 생기는 두 삼각형이 합동이다 자 합동이기 때문에 우리 접선의 길이 동일하고요 접선의 길이 동일한 거 알아야 되고 우리 접점에서 접점에서이 접선과 그리고 원의 중심까지 이은 선분 즉 반지름이 수직을 이룬다는 거 우리가 요것도 항상 같이 기억을 해 주셔야 됩니다 자 접선일 때 수직이라는 거 까먹으면 안 돼요

자 그러면 우리가 교재에 한번 쭉 보고 넘어갈게요 자 원밖에 한 점에서 그 원의 근 두 접선의 길이는 같다라고 되어 있고 pa는 pb라 그랬습니다 자 접선의 길이는 원밖에 한 점으로부터 접점까지 길이를 말하는 거죠 자 요던부터 요점까지의 길이를 말하는 거고 이전부터이 점까지의 길이를 말하는 겁니다 자 원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름과 수직이다 자요 내용을 우리 학생들이 문제를 풀다 보면 이제까먹기가 쉬워요 자 우리요 내용은 항상 기억을 하고 접선 문제를 풀어 주도록 하면 됩니다 자 그러면 한번 개념 예제 한번 풀어보도록 할게요 자 첫 번째 개념미즈 먼저 볼 거고요 우리가 일단은이 원오의 a와 b가 접점입니다 a와 b가 원호의 접점이구요요 pb의 길이를 구하는 문제죠 자 그러면 일단은 우리가요 접선 pa가 접선인데 우리 선분 ao는 반지름을 나타내고요 두 개가 수직이라는 것이 정말 많이 활용됩니다 우리가요 수직이 된다는 거 꼭 기억해 주시고요 자 여기다가 ob를 긋고요 접선 pb에 대해서도 수직이겠죠 자 그러면 여기가 3cm니까 여기도 3cm 겠네요 자 반지름이기 때문에 동일하게 3cm입니다 그러면 우리가 구해야 되는이 pb의 길이를 xcm라고 잡으며 우리가 7과 3과 x를 가지고뭘 쓰면 돼요 직각삼각형이기 때문에 피타고라스를 피타고라스의 정리를 써주면 되는 겁니다 따라서 x의 제곱 플러스 3의 제곱은 7의 제곱이고요 x 제곱 플러스 9 = 49죠 따라서 x 제곱은 42구요 우리가 x값을 2루트 10이라고 찾을 수가 있습니다 따라서 우리 PB 1위는 2루트 10cm라고 구할 수가 있겠네요 자 우리 정말 중요한 거는 바로 이 접선에서 직각이 만들어진다는 거예요 우리가이 직각을 정말 많이 활용하게 됩니다 자 그러면 한번 두 번째 두 번째 개념 예제도 풀어보도록 할게요 자 마찬가지로 저메이랑 전비가 접점이래요 그러면 우리는 접선 pa와 반지름을 나타내는 선분 ao가 수직을 이룬다는 것을 알고 있고요 여기 밑에 있는 접선 pb와 반지름 ob도 수직이겠죠 자 그때요 x도를구하는 거고요 우리는 뭐를 해주냐 바로이 사각형 paob에서 내각의 합이 360도라는 것을 활용해서 x값을 구해주는 겁니다 x+50+90+92 360도구요 우리가 x는 계산을 해주면 요게 180 요게 230이기 때문에 130이라고 구할 수가 있습니다 따라서 우리 각 x는 130도라고 나옵니다 자 이 문제도 뭘 활용했어요 결국은 여기가 직각이라는 것을 활용해 준 겁니다 우리가 요 직각 되는 거 꼭 기억해 주시기 바랍니다

자 그러면 필수 예제 한번 풀어볼게요 자 처음에 있는 원외의 접점이구요 ba의 길이가 16cm고 pb의 길이가 8cm일 때 우리는 삼각형 opa의 넓이를 구하는 것인데 자 일단은요 ba가 접선이고 a5가 반지름이기 때문에 여기수직이라는 것을 알 수가 있죠 자 그리고 oa의 길이와 ob의 길이가 반지름이라 동일하죠 그럼 제가이 반지름의 길이를 r이라고 하겠습니다 여기를 r이라고 하면 우리는 지금 모든 면의 길이가 r로 표현이 되는 거예요 여기는 8+r이고 여기는 16이고 여기는 아니고 그래서이 세면 길이 가지고 피타고라스의 정리를 써줄 수 있겠죠 i+ 8의 제곱은 r^2 + 16의 제곱입니다 자 전개해서 정리해주면요 r² + 16알 플러스 64는 r² + 16의 제곱은 256입니다 따라서 r² r² 사라지고요 16알은 256 -64구요 계산해주면 192입니다 자 따라서 r은 우리가 뭐라고 찾을 수 있냐 여기가 12입니다 자 그러면 12cm 겠죠 여기가 12cm고요 여기가 12cm입니다 자 그럼 우리가 구하는건 우리가 구하는 거는요 삼각형 opa의 넓이인데 요게 직각삼각형이기 때문에 우리는 넓이를 쉽게 구할 수 있죠 바로 16과 11을 곱하고 반으로 나눠주면 됩니다 자 16 곱하기 12 곱하기 2분의 1을 계산을 해주면요 이렇게 6이 되니까 우리는 96 제곱센티미터라고 삼각형 넓이를 구할 수가 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 접선 내용 모두 배워 봤는데 자 우리는 오늘 배운 걸 세 가지 정도로 요약할 수 있을 것 같아요 첫 번째는 우리가 접점에서는 항상 직각이 만들어진다는 거 두 번째 접선의 길이 동일하다는 거 그리고 우리가 접선으로 만들어내는 삼각형이 합동이라는 것까지 우리 개념 복습 꼭 해주시기 바랍니다 자 오늘 수업 여기까지 할 거고요 고생 많으셨습니다 감사합니다