[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 원의 성질 - 삼각형의 내접원과 원에 외접하는 사각형

자 이번 시간 배울 내용은요 우리가 삼각형의 내접엉과 원의 외접하는 사각형에 관해서 배울 겁니다 자 일단은 우리가이 삼각형의 네접원에 대해서 배울 건데 우리가 이미 한번 배웠던 내용이에요 어디서 배웠냐면 우리가이 중학교 2학년 때 내심을 배우면서 배웠던 내용입니다 자 그래도 한번 보도록 할게요

우리가 내접원이란 것은요 삼각형 abc에서 삼각형 abc에서 각 변의 접하는이 원을 우리가 바로 내접원이라고 합니다 그리고이네 저번에 중심인요 점 5를 우리가 내심이라고 하죠 자 우리가 이 내심에는 어떤 성질이 있냐면이 원의 중심 5에서 각 변의 있는이 접점의 선분을 그으면요 우리가 일단은이 선분들이각변과 수직을 이루고 있어요 접선이기 때문에 우리 수직을 이루고 있는 겁니다 자 그리고 제가이 점5에서 b까지 이런 성분을 그으면 삼각형 obe와 합동입니다 삼각형 obd가 이렇게 합동이에요 자 그렇기 때문에 우리가 바로이 DB 길이와 be의 길이가 같다라고 할 수 있는 거예요 자 근데 이게 여기뿐만 아니라 우리가 여기에 있는이 ad의 길이와 a의 길이도 같고요 여기에 있는 fc의 길이와 ec의 길이도 같은 거예요 자 그러면 우리가이 내용을 좀 정리를 하면 일단은 우선 ad와 af같고 bd와 b기가 같고 c와 cf가 같아요 자 요 길이요 길이 같고요 길이요 길이 같고요 길이요 길이가 동일합니다 자 두 번째 삼각형 abc의 둘레길이라 그러면 자 우리가 각 변의 길이를 a랑 b랑 c라고 했을 때 a랑 b랑 c라고 했을 때 a + b + c는요 우리가 x+y+z의 두 배와 같다 그랬는데 xyz가 어디를 말하는 거냐 바로 ad와 여기 be와 여기에 있는 cf가 같다는 것을 의미합니다 자 요거 그림을 한번 좀 지우고 우리 다시 보도록 할게요 우리가 조금 헷갈리기 때문에 한번 그림을 좀 지우고 다시 보도록 할게요 자 일단은요 우리가이 abc를요 여기로 잡았습니다 우리 삼각형이 3병 길이를 abc로 잡은 거예요 여기 a 여기 B 자 xyz는 어디냐 우리가 ad를 잡았구요 b를 잡았고 여기 cf를 나왔습니다 자 그런데 ad의 길이는 af와 같으니까 여기도 x고요 여기 be와 같으니까 여기도 y고 여기는 z라고 할 수가 있겠죠그러면 우리가 a+b+c를 a는 y + z b는 x + Z c는 x+y라고 쓸 수가 있죠 자 따라서 a+b c는 요거는 y + z + x+z + x+y라고 쓸 수가 있고요 ex+2y + 2z니까 우리가 2에 x+y + z라고 정리할 수 있는 겁니다 자 그래서 둘레길이를 이렇게 구할 수 있다는 거 우리가시기 하나 나와 있고요

자 마지막으로 우리 삼각형 abc의 넓이는 우리가 2분의 1 아래에 a+b+c로 구할 수 있습니다 자 요거는 어떻게 나온 거냐 원의 중심에서 꼭짓점까지 이렇게 선분 3개를 그어주면요 우리가 삼각형 넓이 abc를 구할 때는 삼각형 oab의 넓이와 obc의 넓이와oca의 넓이를 합하면 되고요 자 삼각형 oab 넓이는 우리가 요거를 밑변으로 잡고 우리가요 반지름의 길이를이 삼각형이 높이로 잡는 겁니다 우리 수직이니까 높이를 잡을 수 있겠죠 자 따라서 1/2 c야 자 obc는 같은 방식으로 1/2ar oca는 1/2 br입니다 자 그러면 1/2야 1/2r로 묶었을 때 a+b+ c니까 이런 식으로도 우리 넓이를 구할 수 있겠죠 자 둘레에다가 반지름 곱하고 반으로 나눠서 넓이 구할 수 있는 겁니다 자 한번 우리이 내용들을 활용해서 밑에 있는 개념 예제 풀어보도록 할 거고요 자 def가 접점이라 그랬고 x의 값 구하라고 했네요 자 1번 먼저 보면 자 여기가 접점입니다 자 그러면 우리 같은 걸 좀 하나씩 찾아보도록 할게요 빗변의 길이가 10cm이고 여기 지금ac가 6cm예요 그리고 여기 직각삼각형으로 뒀으니까 우리가 피타고라스의 정리로 bc의 길이를 구할 수가 있습니다 자 피타고라스의 정리 쓰면 우리가 8cm라고 구할 수 있어요 자 그럼 이것들을 가지고 우리가 x를 어떻게 구하냐 넓이로 활용해 주는 겁니다 넓이를 활용해 주는 건데 우리가 삼각형 넓이를 구할 수가 있습니다 왜냐면요 밑변의 길이를 bc라고 생각하고 높이를 ac라고 생각하면 삼각형 넓이를 구할 수가 있어요 2분의 1 곱하기 6 곱하기 8이 넓이고요 우리가 위에서 뭐라 그랬어요 넓이는 1/2 아래에 a+b+c와 같다 그랬죠 그러면 넓이를 밑변 곱하기 높이로 두고 할 수 있지만 2분의 1 곱하기 반지름 곱하기요 삼각형의 둘레 즉 10 + 6 + 8로 구할 수 있는 겁니다 자 그런데 우리는 여기서 반지름을 x라고 했으니까요 식에서 x 값을구해줄 수 있겠죠 자 이거 없애고요 요거가 24니까 24x는 이렇게 48입니다 따라서 우리는 x값을 2라고 구할 수가 있겠네요 자 단위 뒤에 붙어 있으니까 x는 2다라고만 해주면 됩니다

자 그러면 이번엔 원의 외접하는 사각형을 한번 보도록 할 건데요 자 원이 웨더파는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이 합은 같다라고 되어 있어요 자 이게 왜 그런지 한번 볼게요 자 원의 중심 있고요 제가이 접점까지 접점까지 반지름을 좀 그어 주도록 할게요 그러면 요거는 접선이기 때문에 수직 수직이고요 제가 ao를 그었을 때는요 ao를 그었을 때는 우리가요 삼각형과요 삼각형에서이 ao를 공통으로 가지고 있죠 자 그러면 제가요 접점을이 f라고 하면 우리가 삼각형 aeo와삼각형 afo는 합동입니다 자 무슨 합동이에요 반지름 같고요 여기 공통이고요 직각이네요 rh의 자 그러면 뭐랑 뭐랑 같아져요 AF 길이와 a2의 길이가 같아집니다 자 같은 방식으로요 우리가 요거를요 밑에 있는 요점에다가 우리가요 점의 이름을이 fg라고 하면 자이 삼각형 b52와 bog도 합동이 되고요 어디길이랑 어디 길이가 같아져요 B 길이랑 비지길이가 같아지죠 자 오른쪽에서도 계속 우리가 같은 것을 구해주면 여기에 있는 지식이와 제가이 점을 h라고 했을 때 자 똑같은 색깔로 쓸게요 요점을 h라고 했을 때 hc의 길이가 같죠 자요 cg의 길이랑 hc의 길이가 같은 겁니다 자 마지막으로 여기에 있는fd의 길이와 dh의 길이가 같아요 자 그러면 제가 각 길이를 a B 자 여기를 B 그리고 여기를 C 여기를 C 그리고 여기를 d라고 하면요 여기를 d라고 하면 자 AB + cd는요 AB + cd는 어떻게 정리가 되냐면 ab는 a+b고요 자 AB 길이는 a+b고 CD 길이는 c+d예요

자 그럼 이번엔 ad+bc를 할 건데 ad는 a+d입니다 여기가 지금 a+d예요 자 이번에 bc인데 bc는 b+c죠 자 여기다가 또 b+c를 더해줍니다 자 그랬더니 좌변과 같아지죠 그래서 AB + cd는 ad+bc가 되는 겁니다 자 우리가이과정에서 지금 어떤 길이랑 어떤 길이랑 같은지까지 우리가 그것도 알고 있어야 돼요 우리가요 식만 알고 있는게 아니라 여기에서 도대체 어떤 길이랑 어떤 길이 같은지까지 같이 알고 있어야 됩니다 자 이번 내용 볼 거고요 두쌍의 대변의 길이의 합이 같은 사각형은 원의 외접한다 그랬어요 자요식이 성립을 하면 우리가 그 사각형은 원의 외접하는 사각형이다라고 생각할 수 있습니다 자 밑에 있는 개념 예제 볼 거고요 사각형 abcd가 원호의 외접한다고 했을 때 x값을 구하는 거고요 자 우리 쉽게 풀어줄 수 있겠죠 AB + C d는 ad+bc와 같다 그랬구요 AB + cd는 8+10이고 ad+bc는 7 + x입니다 따라서 x값을 11이라고 구할 수 있겠네요 자 우리가 그림으로 딱 봤을 때 요거와 요거의 합은 여기에 있는 요거와요거의 합과 같다 요거를 좀 시각적으로도 잘 받았으면 좋겠습니다

자 우리 요거 필수 예제 풀고 마칠 거구요 자 다음 그림이 사각형 abcd는 15의 외접하구요 우리가 접점의 좌표를 각각 2fgh라고 했네요 자 ab가 6cm라고 했고요 사각형 abcd 둘레가 34cm에요 자 그럼 보세요 자 우리는요 길이와요 길이와요 길이의 합이요 길이와요 길이의 합과 같다는 걸 알고 있는데 제가요 길이를 a 그리고요 길이를 B요 길이를 c라고 하면요 a+6이 a + 6이 b+c와 같아요 자 그런데 둘레가 34cm니까 a+6+b+c가 34cm인 거죠 자 그런데 b+c가 a + 6이니까 우리는 여기서 a의 값을 구할 수가 있는 겁니다 자넘어가면 22구요 a는 11cm라고 우리가 구할 수가 있습니다 자 문제에서 구하라고 한 거는 cf+dh의 길입니다 자 cf+dh의 길인데 자 제가 아까 어떤 길이랑 어떤 길이랑 같은지 꼭 알고 있어야 된다 그랬어요 제가이 구하는 길이를 xy라고 하면요 여기도 x고 여기도 y죠 즉 우리가 구하는 건 x+y를 구하는 거고요 그거는 a와 같으니까 우리가 11cm라고 답을 쉽게 낼 수 있습니다 자 우리가이 원의 외접하는 사각형 우리가요 내용에서는 어떤 길이 같은지 알아야 되고요 뭐랑 뭐를 더해서 뭐가 되는지 그것까지 같이 알아두셔야 됩니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 배울 내용은 모두 끝났고요 우리가 계속 도형들이 많이 나오고 있는데 우리가이 도형 하나하나를 명확하게 그리고 뭐가 같은지 어떤 성질이 있는지 하나하나 정말 꼼꼼하게 아는 것이 중요하니까 우리 매번 수업 끝날 때마다 복습 잘 하고있을 거라고 믿습니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 할 거고요 고생 많 하겠습니다 감사합니다