[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 원의 성질 - 원주각과 중심각

자 오늘 배울 내용은 원주각과 중심각입니다 자 우리가이 원주각과 중심가게 관련된 내용을 배우게 될 텐데 오늘 배울 내용이 조금 많아요 우리 배울 내용 조금 많으니까 집중해서 잘 들으시기 바랍니다

자 일단은 원주각이 뭔지 먼저 보도록 할 거예요 자 원 5에서 4 abb에 있지 않은 원예점 p에 대하여 각 apb를 ab에 대한 원주각이라고 한대요 자 이게 무슨 말이냐 지금 요렇게 호 ab가 있어요고 ab가 있으면이 호 AB 위에 있지 않은 또 다른 점 피를 하나 잡을 수 있죠 원이던 p를 잡으면 이렇게 선분을 그었을 때 우리가 각도를 하나 만들어 낼 수 있습니다 지금 여기 각도 보이죠 자 요각을 우리가 원주각이라고 해요 원주각이라고 하고 우리가 호 ab에서만들어 냈으니까고 ab에 대한 원주각이라고 합니다 자 거꾸로 원주가 apb에 대한 호라고도 할 수가 있어요 자 원주가 이거에 대한 호를 호 ab라고 한다라고 할 수 있습니다 자 이게 원주각인데 자 일단 원주각의 우리가 첫 번째 특징을 하나 보도록 할 거예요 자 원해서 한 후에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 2분의 1이래요 자 지금 밑에 있는 그림에서 보면 지금 여기 호 ab가 있어요 호 ab가 있고 우리 원 위에 어떤 점에 대해서 원주각을 만들어 낼 수 있다 그랬죠 이렇게 여기가 바로 원주각입니다 자 중심각은 어디를 말하는 거냐이 호의 양 끝에서 원의 중심의 성분을 그으면요 요렇게 각도를 하나 만들어 낼 수 있고 극도를 중심각이라고 하는 거예요 자 그러면 우리는 어떤 특징이 있냐면원주각은요 원주각은 중심각이 1/2을 곱한 거와 같습니다 2분의 1 곱하기 충 증가 중심각의 절반이 원주각이에요

자 이게 왜 성립을 하냐 제가 이렇게 쪼개 볼게요 저는 이렇게 점 p에서 저를 거쳐서 쭉 선분을 그어서 만들어 줄 거예요 그러면 제가이 각도를 동그라미라고 하면 삼각형 apo가 이등변삼각형이죠 여기 반지름이 같기 때문에 이등변이에요 그럼 여기도 동그라미죠 자 여기가 x면요 우리가 마찬가지로 여기도 이등변이기 때문에 삼각형 opb가 이등변이기 때문에 여기도 x예요 자 그러면 제가 여기 각도는 여기 각도는요 삼각형의 삼각형 apo의 외각이니까 동그라미가 두 개예요 x라고 쓰면 헷갈릴 수 있으니까 제가 동그라미 그냥 두 개를 이렇게 표시를 할게요 자 여기는 우리요 삼각형opb의 외각이니까 x가 두 개입니다 자 그러면 원주각은 지금 동그라미 하나 x 하나죠 중심각은 동그라미 2개 X 두 개니까 요게 딱 두 배가 되는 겁니다 그래서이 원주각은 중심각의 절반이라는 식도 성립을 하겠죠 자 우리 이거 정말 많이 쓰게 될테니까 꼭 기억을 해 주시고요 자 우리가 이거를 조금 다른 그림에서도 적용을 시켜 볼 건데 코 ab를 조금 길게 잡을 겁니다 이렇게 이런 호에 대해서 자 일단 중심각이 어디죠 자 중심에서 이렇게이었을 때 여기가 중심각입니다 여기가 oab에 대한 중심각은 여기에요 자 원주각은 어디예요 우리가요 ab에서 4 AB 위에 있지 않은 다른 점을 찍는 거니까 이런 점을 하나 찍을 수 있겠죠 자 그러면 이렇게 원주각을 마찬가지로 만들어 낼 수가 있어요 자 이런 경우에도 우리 원주각은 중심각의 절반이 성립을 합니다 우리가 그림이 이렇게생겼어도 어쨌든 원주각과 중심각 사이의 관계이기 때문에 같은 법칙이 성립을 하는 거예요 자 우리가 그림이 조금 달라졌다고 다른 법칙을 적용한다 그런게 아니고요 우리가 요런 다른 그림에서도 원주각과 중심각을 명확하게 찾아낼 수가 있어야 됩니다

자 일단은 우리 원주각과 중심각 사이의 관계 꼭 기억을 해 주시고요 일단 다음으로 넘어가 보도록 할게요 각 x의 크기를 구하는 문제입니다 자 지금 4ab에 대해서 지금 여기가 중심각이고요 여기는 뭐예요 원주각이죠 자 원주각이 지금 65도니까 중심각 x는 우리가 뭐라고 찾을 수 있어요 65도의 두 배인 130도라고 찾을 수 있습니다 우리 여기 두 배가 된다는 거 기억을 해 주셔야 됩니다 자 2번 그림 보면요 그림이 조금 엇갈려 있어요 하지만 우리 구하는 건 똑같아요 자 여기 호 ab가 있고요 여기 x는 뭐예요 중심각이죠이 중심각입니다 자 여기 있는 23도는 뭘까요 우리 호 AB 위에 있지 않은 어떤 점을 가지고 이렇게 선을 그어서 만들어낸 각도 원주각이죠 자 우리 다양한 그림에 적응을 해야 돼요 자 따라서 중심각 x는 우리가 23도에 두 배이기 때문에 46도라고 찾아낼 수가 있습니다

자 넘어가 보도록 할게요 원주각의 성질을 볼 건데요 자 일단은 한호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다라고 되어 있어요 자 우리가 원주각을요 정말 다양하게 답안낼 수가 있습니다 호 ab에 대해서 원주각을 이렇게 만들어 낼 수도 있고요 이렇게 만들어 낼 수도 있고 이렇게 만들어 낼 수도 있어요 자 그랬을 때 우리 모두이 원주각들은 중심각의 절반이죠 중심각의 절반이기 때문에 여기 각도 여기 각도 여기 각도 모두 같습니다 자 우리가어떤 한호에 대해서 한 호에 대해서 만들어내는 원주각의 크기는 모두 같다는 거 우리 요거 같이 기억을 해 주시고요 자 우리가 특이하게 반원에 대한 원조각을 한번 볼 거예요 자 반원이라 그러면 홀을 여기서부터 여기까지 자 지름이 양 끝점을 가지고 우리가 홀을 만들었을 때에 약간 반원이 생기고요이 호에 대한 원주각을 우리가 이렇게 만들어 낼 수가 있습니다 자 그러면 일단 얘는 지금 중심각이 몇 도예요 중심각이 180도죠 중심각이 180도니까 여기가 지금이 양 끝점을 가지고 원주각을 만들어냈기 때문에 여기가 지금 원주각이 되는 것이고 180도의 절반이 되는 겁니다 180도의 절반은 90도죠 자 그래서 우리가 이렇게 지름의 양 끝점으로 원주각을 만들어내면 그 각도는 90도가 되는 거예요 자 우리 요네오 우리가이 직각삼각형을 가지고 또 많은 것을 할 수 있기 때문에 우리요 내용꼭 같이 기억을 해주시기 바랍니다

자 넘어가 볼게요 자 개념이 이제 볼 거고요 자 일단은 첫 번째 그림 보면 지금 여기 55도 여기 40도라고 나와 있는데 우리가 각 x의 크기를 구하라고 했어요 자이 각 x가 어떤 각도랑 같은지 볼 거예요 자 어떤 각도랑 같냐면 바로이 호피큐어에 대해서이 각 x는 호피큐에 대한 원주각이죠 그러면 opq에 대한 원주각을 찾아주면 되는 겁니다 그건 뭐예요 이렇게 만들어지는 40도죠 따라서 각의 x는 40도라고 나와요 자 우리가 어떤 호에서 만들어진 원주각인지를 잘 찾아 줘야 됩니다 자 두 번째 그림 보면요 지금 a와 b가 지름의 양 끝점이에요 지름의 양 끝점이면 요렇게이 반원을 가지고 만들어낸 원주각은 90도죠 여기가 90도입니다 그러면 25도 90도 x 더해서180도가 나와야 되고요 x+25는 90이니까 x는 우리가 65도라고 찾아낼 수가 있겠네요

자 여기까지 됐을까요 자 넘어가겠습니다 자 원주각의 크기와 호의 길이에 관한 내용을 보도록 할 건데요 자 일단은 교재 내용을 보도록 할게요 한원 또는 합동인두원에서 자 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다라고 되어 있어요 자 호의 길이가 같으면 우리 여기 호일 길이랑 여기 호의 길이가 같으면 우리 원주각의 크기가 같습니다 어차피 호의 길이가 같으면 중심각의 크기도 같은 것이기 때문에 중심각의 크기가 같으며 원조각의 크기도 같겠죠 그래서 우리가이 내용을 확인을 할 수가 있고요 자 거꾸로 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 같다라고 되어 있습니다 자 거꾸로 우리가 만약에 여기에 있는 원주각의 크기가 같다면 중심각의 크기가 같은 거구요 중심각의 크기가 같으면o의 길이도 같겠죠 자 그래서 호의 길이가 같으면 원주각의 크기가 같고 원주 가게 같으면 코의 길이가 같다라고 내용을 기억해 주시면 될 것 같습니다

자 마지막요 내용 볼 건데 자 호의 길이는 그 호에 대한 중심각의 크기의 정비례하므로라고 되어 있어요 자 우리가 호의 길이를 어떻게 구하죠 그의 길이는 2πr 곱하기 360분의 중심각으로 구할 수 있습니다 자 이렇게 구할 수가 있는데 지금 호의 길이는 우리가 그러면 중심각의 정비례한다고 할 수 있겠죠 자 중심각이 정비례하는데 우리가 원주각도 원주각도 우리가 중심각에 절반으로 구할 수가 있어요 그러면 호의 길이랑 중심각이 정비를 하는데 우리가 원주각의 크기는 중심각의 절반이죠 그러면 호의 길이는이 원주각하고 정비례한다라고 우리가 결론 내릴 수 있는 겁니다따라서 고의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기의 정비례한다라고 할 수 있는 거예요 자 우리가요 내용까지 같이 기억을 꼭 해 주시기 바랍니다 자 밑에 있는 개념 예제 볼 거고요 x에서 x 다음 그림에서 x의 값을 구하는 문제예요 자 지금 그림을 보면 지금 여기가 56도 그리고 여기가 30도라고 되어 있죠 자 그러면 우리가 여기 56도면 2호 호 ab에 대한 2호 ab에 대한 원주각의 크기는 원주각의 크기는 몇 도예요 56도의 절반인 28도죠 자 그러면 지금 원주각의 크기가 28도와 30도인데 우리요 원주각의 크기는 호의 길이의 정비를 하는 거예요 그래서 비례식을 그대로 세워주면 됩니다 28도대에 30도는 4cm대 xcm 자 여기서 x 값을 구할 수 있고요 우리가 28x는120이기 때문에 4로 나눠주면 7 4로 나눠주면 30 따라서 x는 7분의 30이라고 구할 수 있습니다

자 이 두 번째 개념 예제도 보도록 할 거고요 지금 각도가 원조각이 지금 25도랑 75도에요 자 그럼 우리 조금 단순하게 가볼게요 우리가 이런 경우에는 지금 원주각이 3배죠 원주각이 3배면 호의 길이도 3배가 되는 겁니다 따라서 x는 몇 cm라고 구할 수 있어요 x는 4라고 구할 수가 있습니다 우리가 지금 여기 있는 x는요 x에 대한 원주각이 25도고 여기 있는 12에 대한 원주각이 75이기 때문에 우리가 그대로 비례 관계를 적용시켜서 문제를 푼 겁니다 우리 이렇게 푸는 방법도 꼭 기억해 두시기 바랍니다

자 이제 뒤에 있는 우리 한번 필수 예제 풀어보도록 할 거고요 지금 x의 크기를 구하는 건데 우리가이 원주각과 중심각에 관한 문제들은이 각도를 잘 옮겨주고 같은 걸 잘 찾아주는게중요해요 자 그러면 각도를 옮길 건데 우리가 여기에 있는이 원주각을 어디로 옮길 수 있어요 바로 중심각으로 옮길 수 있는 겁니다 자 중심각을 옮기면 여기가 몇 도예요 2x죠 우리 원주각의 두 배니까 ex고요 그러면 2호 bd에 대해서 2호 bd에 대해서 중심각이 지금 100 + 2x네요 자 중심각이 100 + 2x입니다 자 중심각이 100 + 2x니까 지금 원주각이 몇 도라고 나와 있어요 원주각은 70도라고 나와 있죠 따라서 우리 70도의 두 배가 중심각의 크기와 같죠 그래서 여기서 x값을 우리가 구할 수 있는 겁니다 자 ex는 42구요 x는 20도라고 우리가 구할 수가 있습니다 자 우리가 각도 옮겨주는 거 정말 중요해요 우리 여기 있는 원주각을 지금 중심각으로 옮겨주는 과정 그렇게 하고 또 다른 오해에 대해서 원주각과 중심각 내용을적용시켰습니다 우리 각도 옮겨주는 거 연습 많이 해주시고요

자 필수 예제 하나 더 풀어보도록 하겠습니다 자 다음 그림에서 점핑은 부연 ab와 cd에 교점이라고 했고요 고ab와고 cd의 길이가 같대요 자 호 ab는 여기서부터 여기까지를 말하는 거죠 여기서부터 여기까지를 말하는 겁니다 자 그러면 지금 여기에 있는 bd가 공통이기 때문에 결국은 ad의 길이와 여기에 있는 cd의 길이가 같다라고 알려주고 있는 겁니다 자 oad는 BC 이거랑 같다라고 알려주고 있는 거고요 자 그러면 우리가 길이가 같은 걸 알았는데 지금 여기 34도가 주어져 있어요 여기 각도가 34도라고 주어져 있을 때 AB d에 여기에 크기를 구하는 겁니다 자 그러면 제가요 크기를 구해야 되니까 x라고 잡을게요 자 그런데요거는 지금 호 ad에 대한 원주각이죠 그러면 후 ad의 길이와 4bc의 길이가 같기 때문에 4bc에 대한 원조각도 즉 요기에 있는이 각도도 x가 되는 겁니다 자 그러면 삼각형 bdp에서 삼각형 bdp에서 우리가 여기 x고 여기 x면 여기 외곽이기 때문에 ex죠 즉 34와 34도와 2x가 같습니다 따라서 우리는 x를 17도라고 구할 수가 있겠네요

자 여기까지 해서 우리 오늘 배울 내용 모두 마쳤고요 우리 원주 가격에 관한 성질들 여러개 배웠으니까이 내용들 헷갈리지 않도록 복습 꼭 해주시고요 우리가이 문제들 문제들을 어떻게 적용시킬지도 정말 중요하니까 우리 원주각을 정말 자유자재로 적용시킬 수 있도록 문제도 많이 풀어 주시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 할 거고요 고생 많으셨습니다 감사합니다