[수학대왕] 중학수학3-2 개념강의 : 통계 - 분산과 표준편차

자 이번 시간 배울 내용은 분산과 표준편차입니다 자 우리가 지난 시간에 편차에 관해서 배웠었죠 우리가 그 편차를 활용해서 직접이 산포도 구하는 방법을 배울 겁니다 자 일단은 우리가 산포도가 산포도가 뭔지 좀 다시 기억을 해보면 우리가 자료가 흩어진 정도를 자료가 흩어진 정도를 나타내는 값을 우리가 삼포도라고 합니다 흩어진 정도 자 그러면 우리가이 산포도를 계산을 하는 방법을 배울 건데 우리가 이 산포도에는 두 가지가 있어요 첫 번째는 분산이고요 두 번째는 표준편차입니다 산포도를 나타내는 값이 분산과 표준편차가 있고 자 우리가이 두 개 구하는 방법을 배워보도록 할 거예요

자 먼저 분산은요 우리가 각 편차의 제곱의평균을 구합니다 자 예를 들어서 우리가 수학 쪽지 시험 점수가 4.5점 6.7.8 + 5 + 6 + 7 + 8을 5가 빠졌네요 자 4 + 5 + 6 + 7 + 8을 지금 변량이 5개니까 5로 나눠줘야겠죠 자 이렇게 6이라고 나옵니다 평균이 6이니까 우리가요 자료에 편차를 구해주면요 우리가 평균을 빼는 것이기 때문에 -2 -1 0 1 2라고 편차가 나오게 됩니다 자 그런데 우리는 자료가 흩어진 정도를 나타낼 건데 얼마나 멀리 떨어져 있는지가 중요한 거지 이게 평균보다 큰지 평균보다 작은지는 중요하지가 않습니다 즉 여기에 있는 부호는 의미가 없어요 우리는 절댓값만 사용해서 얼마나 멀리 떨어져있는지를 활용해 주는 겁니다 하지만 우리가 이거를 부호를 그냥 그대로 없애는 것이 아니라 제곱을 해서 편차의 제곱을 해서 우리가 부호를 없애게 됩니다 자 편차 제곱을 해주면 4 1 0 1 4구요 자 이렇게 나온이 편차 제곱들의 평균을 구하는 거예요 자 그러면 우리가 4 + 1 + 0 + 1 + 4를 자 지금 5개니까 5로 나눠서 분산을 계산할 수 있는 거고요 5분의 10이니까 2라고 나오네요 즉이 자료의 분산은이 자료의 분산은 2인 겁니다 우리가 요거를 아주 산포도 중에 대표적인 값으로 우리가 분산을 사용하는 거예요 자 그래서 이렇게 나와 있습니다 분산은 변차 제곱의 총합을 변량의 개수로 나눈다 자 우리 편차 재고 구하는 과정 우리 요거를 잘 봐줘야 돼요 우리가 어쨌든 편차를 구하기 위해서 가장 먼저평균을 구해줘야 되고요 평균을 구한 다음에 편차들을 쫙 구합니다 전차들을 구하고 그다음 제곱을 해요 그러면 편차 제곱의 값들을 모두 구했죠 그 다음에 이것들의 평균을 구해주는 거예요 자이 순서로 우리가 분산을 구해주면 됩니다 자 표준편차는요 분산의 음이 아닌 제곱근이고요 우리가 표준편차는 분산의 루트를 씌워주면 됩니다 우리가 결국 표준편차의 구하기 위해서는 분산을 구해줘야겠죠 자 그러면이 자료에이 자료의 표준편차는 조준편차는 분산의 루트를 씌운 분산의 루트를 씌운 루트 2가 되겠네요 자 이렇게 구할 수가 있습니다

자 밑에 있는 내용 보고 넘어갈게요 분산과 표준편차가 클수록 각 자료의 값이 평균을 중심으로 좌우로 넓게 흩어져 있고요 작을수록 갑자료의 값이 평균을 중심으로 모여있습니다 자 우리가 편차 재고 배합으로 계산을 했기 때문에이 편차 제곱이 크면 클수록 전체 제곱이 크면 클수록 평균하고 멀리 떨어져 있는 거였죠 자 그래서 평균을 중심으로 좌우로 넓게 흩어져 있다 그러면 우리 편차 제곱의 값이 큰 거고 분산과 표준편차의 값이 큰 것입니다 자 그러면 우리 이미영까지 정리됐으면 넘어가 보도록 할게요 자 개념 예제 볼 거고요 다음 자료에 평균 분산 표준편차 구하는 문제입니다

자 1번 먼저 해볼 건데요 지금 2 4 6 8 10입니다 평균을 먼저 구해 줄 거고 자 우리 각 별량들을 모두 더해줘요 자 그랬을 때 요게요 12 20 30 나누기 5라서 평균이 6이라고 나옵니다 자 그러면 우리가 일단 평균 6이라고 구했구요 이번엔 편차구 할 거예요 우리 분산을 구하기위해 편차를 구하는 겁니다 자 편차 계산해주면 - 4 - 2 0 2 4 그러면 요것들을 제곱을 해서 우리가 분산을 구해줘야 되죠 제곱을 해주면 16 4 0 4 16입니다 자 이랬을 때 우리 편차 제곱들의 평균을 구해주면 되죠이 편차 제곱을 16 + 4 + 0 + 4 + 16을 우리가 다섯 개니까 5로 나눠주면 됩니다 자 편차 제곱의 평균이라고 기억을 해주시면 좋아요 자 요거는 5분의 40이고요 8이 나옵니다 즉 분산은 8이에요 자 여기서 지금 평균은 평균은 여기고 분산은 8이고 자 그러면 표준편차는 우리가 분산의 루트를 씌운 거니까 루트8이고 2루트 2라고 구할 수가있겠네요

자 이번엔 두 번째 거 한번 해보겠습니다 45678이고요 자 아까 했던 거긴 하지만 우리가 연습 겸 또 해보도록 하겠습니다 자 평균은요 우리가 이렇게 변량들 모두 더하고 별량의 개수 5개로 나눠주면 되죠 자 그러면 요게 지금 9 15 22 30 6으로 계산이 됩니다 자 이번에 분산 구하기 위해 편차를 구해 줄 거고요 평균을 빼는 겁니다 평균을 빼주면 -2 -1 0 1 이구요 요거를 제곱을 해줘야 되죠 4 1 0 1 4가 편차 제곱들이고요 이거를 모두 더하고 4 + 1 + 0 + 1 + 4를 지금 다섯 개니까 5로 나누면 우리가 값이 뭐가 나와요 5분의 10이니까 2라고 나오죠 자 이게 바로 분산입니다 자 그래서요 자료에 평균은 6이구요 분산은 2구요 표준편차는 분산의 루트를 씌운 거니까 루트 2라고 나옵니다 자 그러면 우리가 지금 뭘 볼 수 있냐면 일단 문제는 다 풀었고요 1번에서 평균이 6이고 2번에서 평균이 6이에요 자 평균이 똑같습니다 평균이 똑같지만 얘는 2468 10이고 얘는 45678이에요 자 1번에서이 평균을 중심으로 자 변량들이 더 멀리 떨어져 있죠 더 멀리 떨어져 있습니다 얘는 지금 평균에 붙어 있는 거예요 평균에 조금 가까이 있습니다 값들이 자 그러면 삼포도는 누가 큰 거예요 바로 1번이 큰 거죠 단포도는 1번이 큰 거니까 실제로 계산한 분산이 얘는 8이고 얘는 2라고 나오는 겁니다 얘가 더 크게 나오죠 자 몇 빼고 이런 것까지는 우리가 찾기 힘들고요 그냥 크다 작다 대소비교만 할 수 있으면 됩니다 자 그러면 넘어 우리 요거 필수 예제 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 우리 요거조금 문제가 어려울 수 있는데 그래도 한번 해보겠습니다 자 다섯 개의 변량 XY 7 80에서 평균이 6이고 분산이 10이래요 자 그랬을 때이 x² + y 제곱의 값을 구하라고 했고요 지금 문제가 뭐냐면이 x값과 y값을 모르는게 문제죠 자 하지만 평균이 6이고 분산이 10이라는 것을 통해서 우리가이 xy였던 조건을 얻어낼 거예요 우리는 그냥 평균 구하는 식 사용해 볼 거구요 분산 구하는 과정 그냥 그대로 진행할 겁니다 자 일단은 평균이 6이라고 했으니까 x+y + 7 + 8 + 10을 5로 나누는게 평균을 구하는 식이죠 이게 6이니까 우리 x+y+25는 30이라고 나오고요 x+y의 값을 5라고 구할 수 있는 겁니다 자 그러면 이번엔 우리가이 분산 구하는 과정을 한번 해보도록 할 건데요 자 우리가 분산을 구하기 위해서는 일단 편차를 구해야 되고요평균을 모두 빼주면 x-6 y - 6 1 2 4입니다 자 편차 제곱을 해주고요 x-6의 제곱 y - 6의 제곱 가운데 플러스가 들어갔네요 그리고 1 4 16이라고 나오죠 자 그러면 우리는 요것들을 모두 더해서 x-6의 제곱 y - 6의 제곱 1+ 4 + 16을 5개니까 5로 나눈 값이 분산 10하고 같은 것이죠 자 그러면 5를 곱하면 50이구요 요게 20일이니까 x-6의 제곱 플러스 y - 6의 제곱이 우리 20 9라고 계산이 됩니다

자 그러면요 우리가 여기서 x² + y 제곱의 값을 계산을 해야 되니까 요거를 전개를 해주면요 x의 제곱 마이너스 12x + 36y^2 -12y + 36은 29라고 나옵니다 자 그러면 x² + y² - 여기에 있는 - 12x와 -12y를 -12로 묶어주면 x + y고요 36 36 하면 +72죠요 값이 29입니다 그런데 우리가 평균을 구하는 과정에서 x+y가 5라는 걸 알고 있죠 자 여기다가 5를 대입하면요 -60이고요 우리가 x 제곱 플러스 따라서 x² + y 제곱은 17이다라고 계산을 할 수 있겠죠 자 그러면요 과정은 우리가 조금 복잡해 보이지만 결국은 뭘 한 거예요 우리가 그냥 평균이 6이라 그랬으니까 평균 구하는 과정 한번 해 봤구요 분산이 10이니까 분산 구하는 과정 그냥 XY 그대로XY 가지고 계산해 준 겁니다 그렇게 해서 우리가 답을 낼 수가 있겠죠

자 여기까지 해서 우리가 오늘 배울 내용은 모두 마쳤고요 우리가 분산을 계산하는 과정이 조금 복잡하니까 우리가 분산 구하는 연습 꼭 해주시고요 오늘 푼 문제들 그리고이 분산이 자료에 따라서 어떤 크기 누가 크고 누가 작은지 그거를 볼 수 있는 것까지 우리 같이 복습을 해 주셨으면 좋겠습니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다